Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (Hình 61). Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HBC, HCA.

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Xét DBME và DCMF có:

$\widehat{BEM}=\widehat{CFM}(=90°)$,

BM = CM (vì M là trung điểm của BC),

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆BME = ∆CMF (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng).

Ta có ME = MF nên M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF (1)

Lại có AB = AE + EB, AC = AF + FC

Mà AB = AC, BE = CF (chứng minh trên)

Suy ra AE = AF nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Do đó AM vuông góc với EF.

Vậy AM vuông góc với EF.

a) Gọi K là giao điểm của BD và AE.

Xét DBAD và DBED có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BED}(=90°)$,

BD là cạnh chung,

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (do BD là tia phân giác của góc ABC)

Do đó ∆BAD = ∆BED (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BA = BE (hai cạnh tương ứng).

Xét DABK và DEBK có:

BA = BE (chứng minh trên),

$\widehat{ABK}=\widehat{EBK}$ (do BD là tia phân giác của góc ABC),

BK là cạnh chung

Do đó DABK = DEBK (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BKA}=\widehat{BKE}$  (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BKA}+\widehat{BKE}=180°$   (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{BKA}=\widehat{BKE}=\frac{180°}{2}=90°$

Hay BK ⊥ AE.

Do BK là đường cao của tam giác BAE và B, K, D thẳng hàng nên trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

Vậy trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.