Cho tam giác ABC, I là một điểm trong tam giác, IA,IB,IC theo thứ tự cắt BC,CA,AB ở M,N,P. Chứng minh rằng $\frac{NA}{NC}+\frac{PA}{PB}=\frac{IA}{IM}$ .

Đặt $BD=CE=a$ .

Cách 1: (hình 281)

Kẻ $DH\parallel AC$  thì $DH\parallel EC$ .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $DH\parallel EC$  và $DH\parallel AC$ ,ta được:

                      $\frac{KE}{KD}=\frac{EC}{DH}=\frac{a}{DH}$   (1);

                       $\frac{DH}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{a}{BA}\Rightarrow \frac{a}{DH}=\frac{AB}{AC}$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{KE}{KD}=\frac{AB}{AC}$ .

Cách 2: (hình 282)

Kẻ $DI\parallel BC$  thì $DI\parallel CK$ .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $DI\parallel CK$  và $DI\parallel BC$ , ta được:

                         $\frac{KE}{KD}=\frac{CE}{CI}=\frac{a}{CI}$(3); $\frac{CI}{CA}=\frac{BD}{BA}=\frac{a}{BA}\Rightarrow \frac{BA}{CA}=\frac{a}{CI}$  (4).

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{KE}{KD}=\frac{AB}{AC}$ .

Cách 3: (hình 283)

Kẻ $EM\parallel AB$  thì $EM\parallel BD$ .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho  $EM\parallel BD$ và EM//AB, ta được:

            $\frac{KE}{KD}=\frac{EM}{BD}=\frac{EM}{a}$  (5); $\frac{CE}{CA}=\frac{EM}{AB}=\frac{a}{CA}\Rightarrow \frac{EM}{a}=\frac{AB}{CA}$  (6).

Từ (5) và (6) suy ra $\frac{KE}{KD}=\frac{AB}{AC}$ .

Cách 4: (hình 284)

Kẻ $EN\parallel BC$  thì $EN\parallel BK$ .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $EN\parallel BK$  và $EN\parallel BC$ ,ta được:

           $\frac{KE}{KD}=\frac{BN}{BD}=\frac{BN}{a}$  (7); $\frac{BN}{BA}=\frac{CE}{CA}=\frac{a}{CA}\Rightarrow \frac{BN}{a}=\frac{BA}{CA}$  (8)

Từ (7) và (8) suy ra $\frac{KE}{KD}=\frac{AB}{AC}$ .