Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M. Các đường thẳng CM và DM cắt đường thẳng AB lần lượt tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của EF.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 2: Góc với đường tròn có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M. (ảnh 1)

Ta sẽ chứng minh NE = NF bằng cách dùng NM làm trung gian.

Ta có $C D ⊥ A B$ nên $\overset{⏜}{D A} = \overset{⏜}{D B}$ và $\overset{⏜}{C A} = \overset{⏜}{C B}$ (định lí đường kính vuông góc với dây cung).

Góc F₁ là góc có đỉnh ở bên trong một đường tròn nên:

${\hat{F}}_{1} = \frac{s đ \overset{⏜}{B M} + s đ \overset{⏜}{A D}}{2} = \frac{s đ \overset{⏜}{B M} + s đ \overset{⏜}{B D}}{2} = \frac{s đ \overset{⏜}{M B D}}{2} (1)$

\hat{M_{3}}

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên

\hat{M_{2}} = \frac{s đ \overset{⏜}{M C}}{2}

(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{F_{1}} = \hat{M_{3}}$ do đó $Δ N M F$ cân tại N, suy ra NF = NM.

Góc E là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên: $\hat{E} = \frac{s đ \overset{⏜}{A C} - s đ \overset{⏜}{B M}}{2} = \frac{s đ \overset{⏜}{B C} - s đ \overset{⏜}{B M}}{2} = \frac{s đ \overset{⏜}{M C}}{2}$ (3)

Góc M₂ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên $\hat{M_{2}} = \frac{s đ \overset{⏜}{M C}}{2}$ . (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\hat{E} = \hat{M_{2}}$ , dẫn tới $\hat{E} = \hat{M_{1}}$ (vì $\hat{M_{1}} = \hat{M_{2}}$ )

Do đó

Δ N M E

cân, suy ra NE = NM tại N. Do vậy NE = NF. Vậy N là trung điểm của EF

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, điểm M thuộc cung nhỏ BC. Gọi E là giao điểm của MA và CD, F là giao điểm của MD và AB. Chứng minh rằng:

a) $\hat{DAE} = \hat{A F D}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, điểm M thuộc cung nhỏ BC. (ảnh 1)

$\hat{DAE} = \frac{sd \overset{⏜}{DBM}}{2}$ (góc nội tiếp) .

$\hat{AFD} = \frac{sd \overset{⏜}{DB} + s d \overset{⏜}{M B}}{2} = \frac{sd \overset{⏜}{DBM}}{2}$ ( góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)

Suy ra $\hat{DAE} = \hat{A F D}$

Câu 2

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Vẽ dây CD // AB. Đường thẳng AD cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M. Chứng minh:

a) MB² = MC.ME;

Xem đáp án

Lời giải

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Vẽ dây CD // AB. (ảnh 1)

$Δ M B E$ và $Δ M C B$ có

$\hat{M_{1}}$ chung; $\hat{B_{1}} = \hat{C_{2}}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BE)

Nên $Δ M B E$ # $Δ M C B$ (g.g)

Suy ra $\frac{M B}{M C} = \frac{M E}{M B}$

Do đó MB² = MC.ME

Câu 3