Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AMAB=BNBC=CPCA . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Giả sử AMAB=k suy ra AM→=kAB→ ; BN→=kBC→ ; CP→=kCA→ Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm ΔABC và ΔMNP Suy ra GA→+GB→+GC→=0→ và G'M→+G'N→+G'P→=0→ (*) Ta có AM→=kAB→⇔AG→+GG'→+G'M→=kAB→ Tương tự BG→+GG'→+G'N→=kBC→ Và CG→+GG'→+G'P→=kCA→ Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được AG→+BG→+CG→+3GG'→+G'M→+G'N→+G'P→=kAB→+BC→+CA→ Kết hợp với (*) ta được GG'→=0→ Suy ra điều phải chứng minh Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA→+GB→+GC→=0→ Ta có: GM→+GN→+GP→=GA→+AM→+GB→+BN→+GC→+CP→ =AM→+BN→+CP→=kAB→+kBC→+kCA→=k(AB→+BC→+CA→)=0→ Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Câu hỏi:

31/10/2022 2,468

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án (Mới nhất) !!

Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.

Mua ngay

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử $\frac{A M}{A B} = k$ suy ra $\vec{A M} = k \vec{A B}; \vec{B N} = k \vec{B C}; \vec{C P} = k \vec{C A}$

Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm $Δ A B C$ và $Δ M N P$

Suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ và $\vec{G' M} + \vec{G' N} + \vec{G' P} = \vec{0}$ (*)

Ta có $\vec{A M} = k \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{A G} + \vec{G G'} + \vec{G' M} = k \vec{A B}$

Tương tự $\vec{B G} + \vec{G G'} + \vec{G' N} = k \vec{B C}$

Và $\vec{C G} + \vec{G G'} + \vec{G' P} = k \vec{C A}$

Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được $(\vec{A G} + \vec{B G} + \vec{C G}) + 3 \vec{G G'} + (\vec{G' M} + \vec{G' N} + \vec{G' P}) = k (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A})$

Kết hợp với (*) ta được $\vec{G G'} = \vec{0}$

Suy ra điều phải chứng minh

Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Ta có: $\vec{G M} + \vec{G N} + \vec{G P} = \vec{G A} + \vec{A M} + \vec{G B} + \vec{B N} + \vec{G C} + \vec{C P}$

$= \vec{A M} + \vec{B N} + \vec{C P} = k \vec{A B} + k \vec{B C} + k \vec{C A} = k (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A}) = \vec{0}$

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

A. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ .

B. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ .

C. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$ .

D. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{2}

Xem đáp án » 01/11/2022 5,620

Câu 2:

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

Xem đáp án » 01/11/2022 5,339

Câu 3:

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Xem đáp án » 01/11/2022 3,051

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

A. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AC và BD,

B. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC,

C. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AB và DC,

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án » 01/11/2022 2,658

Câu 5:

Cho tam giác ABC. Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi $2011 \vec{A' B} + 2012 \vec{A' C} = \vec{0}$ , $2011 \vec{B' C} + 2012 \vec{B' A} = \vec{0}$ , $2011 \vec{C' A} + 2012 \vec{C' B} = \vec{0}$

Chứng minh rằng $Δ A B C$ và $Δ A' B' C'$ cùng trọng tâm

Xem đáp án » 31/10/2022 2,138

Câu 6:

Cho lục giác đều ABCDEF . Tìm tập hợp các điểm M sao cho :

$|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| + |\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}|$ nhận giá trị nhỏ nhất

Xem đáp án » 01/11/2022 1,818

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Nâng cấp VIP

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Xem thêm »

Trắc nghiệm Mệnh đề có đáp án

2 đề 46938 lượt thi Thi thử
80 câu trắc nghiệm Vectơ cơ bản

5 đề 39148 lượt thi Thi thử
75 câu trắc nghiệm Vectơ nâng cao

4 đề 32782 lượt thi Thi thử
75 câu trắc nghiệm Bất đẳng thức - Bất phương trình nâng cao

5 đề 26249 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác cơ bản

5 đề 23862 lượt thi Thi thử
50 câu trắc nghiệm Hàm số bậc nhất và bậc hai cơ bản

3 đề 22420 lượt thi Thi thử
120 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nâng cao

6 đề 22247 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Mệnh đề - Tập hợp nâng cao

6 đề 21073 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ cơ bản

5 đề 19624 lượt thi Thi thử
160 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cơ bản

7 đề 16764 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Gọi 084 283 45 85

Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AMAB=BNBC=CPCA . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : 2MA→+3MB→+4MC→=MB→−MA→

Cho tam giác ABC a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : 2IA→+3IB→+4IC→=0→

b) 4MA→+MB→+MC→=2MA→−MB→−MC→

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho AM→=kAB→, DN→=kDC→ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho tam giác ABC. Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi 2011A'B→+2012A'C→=0→ , 2011B'C→+2012B'A→=0→ , 2011C'A→+2012C'B→=0→ Chứng minh rằng ΔABC và ΔA'B'C' cùng trọng tâm

Cho lục giác đều ABCDEF . Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA→+MB→+MC→+MD→+ME→+MF→ nhận giá trị nhỏ nhất

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!