Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AMAB=BNBC=CPCA . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Giả sử AMAB=k suy ra AM→=kAB→ ; BN→=kBC→ ; CP→=kCA→ Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm ΔABC và ΔMNP Suy ra GA→+GB→+GC→=0→ và G'M→+G'N→+G'P→=0→ (*) Ta có AM→=kAB→⇔AG→+GG'→+G'M→=kAB→ Tương tự BG→+GG'→+G'N→=kBC→ Và CG→+GG'→+G'P→=kCA→ Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được AG→+BG→+CG→+3GG'→+G'M→+G'N→+G'P→=kAB→+BC→+CA→ Kết hợp với (*) ta được GG'→=0→ Suy ra điều phải chứng minh Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA→+GB→+GC→=0→ Ta có: GM→+GN→+GP→=GA→+AM→+GB→+BN→+GC→+CP→ =AM→+BN→+CP→=kAB→+kBC→+kCA→=k(AB→+BC→+CA→)=0→ Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Câu hỏi:

11/07/2024 4,739

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 112 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử $\frac{A M}{A B} = k$ suy ra $\vec{A M} = k \vec{A B}; \vec{B N} = k \vec{B C}; \vec{C P} = k \vec{C A}$

Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm $Δ A B C$ và $Δ M N P$

Suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ và $\vec{G' M} + \vec{G' N} + \vec{G' P} = \vec{0}$ (*)

Ta có $\vec{A M} = k \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{A G} + \vec{G G'} + \vec{G' M} = k \vec{A B}$

Tương tự $\vec{B G} + \vec{G G'} + \vec{G' N} = k \vec{B C}$

Và $\vec{C G} + \vec{G G'} + \vec{G' P} = k \vec{C A}$

Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được $(\vec{A G} + \vec{B G} + \vec{C G}) + 3 \vec{G G'} + (\vec{G' M} + \vec{G' N} + \vec{G' P}) = k (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A})$

Kết hợp với (*) ta được $\vec{G G'} = \vec{0}$

Suy ra điều phải chứng minh

Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Ta có: $\vec{G M} + \vec{G N} + \vec{G P} = \vec{G A} + \vec{A M} + \vec{G B} + \vec{B N} + \vec{G C} + \vec{C P}$

$= \vec{A M} + \vec{B N} + \vec{C P} = k \vec{A B} + k \vec{B C} + k \vec{C A} = k (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A}) = \vec{0}$

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Bình luận

Câu 1:

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

A. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ .

B. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ .

C. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$ .

D. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{2}

Xem đáp án » 02/11/2022 10,373

Câu 2:

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

Xem đáp án » 11/07/2024 9,551

Câu 3:

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Xem đáp án » 11/07/2024 7,195

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

A. hình bình hành

B. hình thang

C.hình chữ nhật

D. hình vuông

Xem đáp án » 02/11/2022 5,418

Câu 5:

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

A. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AC và BD,

B. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC,

C. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AB và DC,

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án » 02/11/2022 4,869

Câu 6:

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$

A. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{2}$ với I là trung điểm của AB

B. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ với I là trung điểm của AB

C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ với I là trung điểm của AB

D. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{5}

với I là trung điểm của AB

Xem đáp án » 02/11/2022 4,228

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AMAB=BNBC=CPCA . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : 2MA→+3MB→+4MC→=MB→−MA→

Cho tam giác ABC a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : 2IA→+3IB→+4IC→=0→

b) 4MA→+MB→+MC→=2MA→−MB→−MC→

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn OA→+OB→+OC→+OD→=0→.tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho AM→=kAB→, DN→=kDC→ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a) MA→+MB→=MA→−MB→

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$