Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CA}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Giả sử $\frac{AM}{AB}=k$  suy ra  $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\text{ ; }\overrightarrow{BN}=k\overrightarrow{BC}\text{ ; }\overrightarrow{CP}=k\overrightarrow{CA}$

Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm $\Delta ABC$  và $\Delta MNP$

Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$  và $\overrightarrow{G\text{'}M}+\overrightarrow{G\text{'}N}+\overrightarrow{G\text{'}P}=\overrightarrow{0}$  (*)

Ta có $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}M}=k\overrightarrow{AB}$

Tương tự $\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}N}=k\overrightarrow{BC}$

Và $\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}P}=k\overrightarrow{CA}$

Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được $\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)+3\overrightarrow{GG\text{'}}+\left(\overrightarrow{G\text{'}M}+\overrightarrow{G\text{'}N}+\overrightarrow{G\text{'}P}\right)=k\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$

Kết hợp với (*) ta được $\overrightarrow{GG\text{'}}=\overrightarrow{0}$   

Suy ra điều phải chứng minh

Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CP}$

 $=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=k\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CA}=k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{0}$

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.