Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AMAB=BNBC=CPCA . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Giả sử AMAB=k suy ra AM→=kAB→ ; BN→=kBC→ ; CP→=kCA→ Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm ΔABC và ΔMNP Suy ra GA→+GB→+GC→=0→ và G'M→+G'N→+G'P→=0→ (*) Ta có AM→=kAB→⇔AG→+GG'→+G'M→=kAB→ Tương tự BG→+GG'→+G'N→=kBC→ Và CG→+GG'→+G'P→=kCA→ Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được AG→+BG→+CG→+3GG'→+G'M→+G'N→+G'P→=kAB→+BC→+CA→ Kết hợp với (*) ta được GG'→=0→ Suy ra điều phải chứng minh Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA→+GB→+GC→=0→ Ta có: GM→+GN→+GP→=GA→+AM→+GB→+BN→+GC→+CP→ =AM→+BN→+CP→=kAB→+kBC→+kCA→=k(AB→+BC→+CA→)=0→ Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Câu hỏi:

11/07/2024 6,541

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 112 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án (Mới nhất) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử $\frac{A M}{A B} = k$ suy ra $\vec{A M} = k \vec{A B}; \vec{B N} = k \vec{B C}; \vec{C P} = k \vec{C A}$

Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm $Δ A B C$ và $Δ M N P$

Suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ và $\vec{G' M} + \vec{G' N} + \vec{G' P} = \vec{0}$ (*)

Ta có $\vec{A M} = k \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{A G} + \vec{G G'} + \vec{G' M} = k \vec{A B}$

Tương tự $\vec{B G} + \vec{G G'} + \vec{G' N} = k \vec{B C}$

Và $\vec{C G} + \vec{G G'} + \vec{G' P} = k \vec{C A}$

Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được $(\vec{A G} + \vec{B G} + \vec{C G}) + 3 \vec{G G'} + (\vec{G' M} + \vec{G' N} + \vec{G' P}) = k (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A})$

Kết hợp với (*) ta được $\vec{G G'} = \vec{0}$

Suy ra điều phải chứng minh

Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Ta có: $\vec{G M} + \vec{G N} + \vec{G P} = \vec{G A} + \vec{A M} + \vec{G B} + \vec{B N} + \vec{G C} + \vec{C P}$

$= \vec{A M} + \vec{B N} + \vec{C P} = k \vec{A B} + k \vec{B C} + k \vec{C A} = k (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A}) = \vec{0}$

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

A. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ .

B. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ .

C. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$ .

D. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{2}

Lời giải

b) Với I là điểm được xác định ở câu a, ta có: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C} = 9 \vec{M I} + (2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C}) = 9 \vec{M I}$

và $\vec{M B} - \vec{M A} = \vec{A B}$ nên $| 2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C} | = | \vec{M B} - \vec{M A} | \Leftrightarrow | 9 \vec{M I} | = | \vec{A B} | \Leftrightarrow M I = \frac{A B}{9}$

Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$ .

Chọn C

Câu 2

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0} \Leftrightarrow 2 \vec{I A} + 3 (\vec{I A} + \vec{A B}) + 4 (\vec{I A} + \vec{A C}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 9 \vec{I A} = - 3 \vec{A B} - 4 \vec{A C} \Leftrightarrow \vec{I A} = - \frac{3 \vec{A B} + 4 \vec{A C}}{9} \Rightarrow$ I tồn tại và duy nhất.

Câu 3

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

A. hình bình hành

B. hình thang

C.hình chữ nhật

D. hình vuông

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

A. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AC và BD,

B. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC,

C. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AB và DC,

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} + \vec{M C}|$

A.Tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF

B. M là đường thẳng đi qua A song song với BC

C. M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$

D.Cả A, B, C đều sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} + \vec{M C}|$