Câu hỏi:

02/12/2022 18,949

Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) $x^{3} - 3 x + 1 = 0$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 câu Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục có đáp án (Mới nhất) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Dễ thấy hàm $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ liên tục trên R . Ta có:

$\{\begin{cases} f (- 2) = - 1 \\ f (- 1) = 3 \end{cases} \Rightarrow f (- 2) . f (- 1) < 0 \Rightarrow$ tồn tại một số $a_{1} \in (- 2; - 1) : f (a_{1}) = 0 (1) .$

$\{\begin{cases} f (0) = 1 \\ f (1) = - 1 \end{cases} \Rightarrow f (0) . f (1) < 0 \Rightarrow$ tồn tại một số $a_{2} \in (0; 1) : f (a_{2}) = 0 (2) .$

$\{\begin{cases} f (1) = - 1 \\ f (2) = 3 \end{cases} \Rightarrow f (1) . f (2) < 0 \Rightarrow$ tồn tại một số $a_{3} \in (1; 2) : f (a_{3}) = 0 (3) .$

- Do ba khoảng (-2;1), (0;1) và (1;2) đôi một không giao nhau nên phương trình $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.

- Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) $x^{5} - 3 x + 3 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét $f (x) = x^{5} - 3 x + 3.$

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty \Rightarrow$ tồn tại một số $x_{1} > 0$ sao cho $f (x_{1}) > 0.$

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty \Rightarrow$ tồn tại một số $x_{2} < 0$ sao cho $f (x_{2}) < 0.$

Từ đó $f (x_{1}) . f (x_{2}) < 0 \Rightarrow$ luôn tồn tại một số $x_{0} \in (x_{2}; x_{1}) : f (x_{0}) = 0$ nên phương trình $x^{5} - 3 x + 3 = 0$ luôn có nghiệm.

Câu 2

b) $2 x + 6 \sqrt[3]{1 - x} = 3$

Xem đáp án

Lời giải

b) Đặt $\sqrt[3]{1 - x} = t \Leftrightarrow x = 1 - t^{3} \Rightarrow 2 t^{3} - 6 t + 1 = 0$

- Xét hàm số $f (t) = 2 t^{3} - 6 t + 1$ liên tục trên R

- Ta có: $\{\begin{cases} f (- 2) . f (- 1) = - 3.5 < 0 \\ f (0) . f (1) = 1. (- 3) < 0 \\ f (1) . f (2) = - 3.5 < 0 \end{cases} \Rightarrow$ tồn tại 3 số $t_{1}, t_{2}$ và $t_{3}$ lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là $(- 2; - 1), (0; 1)$ và $(1; 2)$ sao cho $f (t_{1}) = f (t_{2}) = f (t_{3}) = 0$ và do đây là phương trình bậc 3 nên $f (t) = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

- Ứng với mỗi giá trị $t_{1}, t_{2}$ và $t_{3}$ ta tìm được duy nhất một giá trị thỏa mãn $x = 1 - t^{3}$ và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Câu 3

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

a) $(1 - m^{2}) {(x + 1)}^{3} + x^{2} - x - 3 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

c) $m (2 \cos x - \sqrt{2}) = 2 \sin 5 x + 1$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

b) $\cos x + m \cos 2 x = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

b) $x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + x + 1 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) $x^{3} - 3 x + 1 = 0$

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) $x^{5} - 3 x + 3 = 0$

b) $2 x + 6 \sqrt[3]{1 - x} = 3$

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

a) $(1 - m^{2}) {(x + 1)}^{3} + x^{2} - x - 3 = 0$

c) $m (2 \cos x - \sqrt{2}) = 2 \sin 5 x + 1$

b) $\cos x + m \cos 2 x = 0$

b) $x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + x + 1 = 0$