Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) $x^5-3x+3=0$

a) Dễ thấy hàm $f\left(x\right)=x^3-3x+1$ liên tục trên R . Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}f\left(-2\right)=-1\\ f\left(-1\right)=3\end{array}\right.\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(-1\right)<0\Rightarrow$ tồn tại một số $a_1\in \left(-2;-1\right):f\left(a_1\right)=0\left(1\right).$

$\left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=1\\ f\left(1\right)=-1\end{array}\right.\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)<0\Rightarrow$ tồn tại một số $a_2\in \left(0;1\right):f\left(a_2\right)=0\left(2\right).$

$\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=-1\\ f\left(2\right)=3\end{array}\right.\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)<0\Rightarrow$ tồn tại một số $a_3\in \left(1;2\right):f\left(a_3\right)=0\left(3\right).$

b) Đặt $\sqrt[3]{1-x}=t\iff x=1-t^3\Rightarrow 2t^3-6t+1=0$

- Xét hàm số $f\left(t\right)=2t^3-6t+1$ liên tục trên R

- Ta có: $\left\{\begin{array}{l}f\left(-2\right).f\left(-1\right)=-3.5<0\\ f\left(0\right).f\left(1\right)=1.\left(-3\right)<0\\ f\left(1\right).f\left(2\right)=-3.5<0\end{array}\right.\Rightarrow$ tồn tại 3 số $t_1,t_2$ và $t_3$ lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là $\left(-2;-1\right),\left(0;1\right)$ và $\left(1;2\right)$ sao cho $f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)=f\left(t_3\right)=0$ và do đây là phương trình bậc 3 nên $f\left(t\right)=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

- Ứng với mỗi giá trị $t_1,t_2$ và $t_3$ ta tìm được duy nhất một giá trị  thỏa mãn $x=1-t^3$ và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.