Câu hỏi:

12/07/2024 6,185

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = $a \sqrt{3}$ . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi (a) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (a) với các mặt của hình chóp.

b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán học 11 CTST Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Ta có:

(SAB) ^ (ABCD);

(SAD) ^ (ABCD);

Do đó SA ^ (ABCD).

(SAB) Ç (SAD) = SA.

Dễ dàng chứng minh được (SAD) ^ (SCD).

Vẽ AM ^ SD (M Î SD) Þ AM ^ (SCD)

Do đó (ABM) ^ (SCD) hay (ABM) là mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

Trong mặt phẳng (SCD) kẻ MN // CD (N Î SC).

Suy ra: MN // AB Þ MN Ì (α).

Vậy các giao tuyến của (α) với các mặt của hình chóp là AB, BN, NM, MA.

Ta có: MN // AB; AB ^ AM (vì AB ^ (SAD)).

Suy ra ABNM là hình thang vuông tại A và M.

Tam giác SAD vuông tại A có AM là đường cao nên:

$\frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Vì MN // CD nên $\frac{M N}{C D} = \frac{S M}{S D}$

$\Rightarrow \frac{M N}{C D} = \frac{S A^{2}}{S D} \cdot \frac{1}{S D} = \frac{S A^{2}}{S D^{2}} = \frac{S A^{2}}{S A^{2} + A D^{2}} = \frac{3 a^{2}}{4 a^{2}}$

$\Rightarrow M N = \frac{3}{4} C D = \frac{3}{4} a$

$\Rightarrow S_{A B M N} = \frac{1}{2} . A M . (M N + A B) = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . (\frac{3}{4} a + a) = \frac{7 a^{2} \sqrt{3}}{16}$

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Chứng minh rằng:

a) (SBC) ^ (SAB);

b) (SCD) ^ (SAD);

c) (SBD) ^ (SAC);

d) (SAC) ^ (AHK).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Theo giả thiết:

$\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D); \\ (S A D) ⊥ (A B C D); \\ (S A B) \cap (S A D) = S A . \end{cases}$

Suy ra SA ^ (ABCD).

Khi đó: $\{\begin{cases} B C ⊥ A B (A B C D l à h ì n h v u ô n g); \\ B C ⊥ S A (v ì S A ⊥ (A B C D)) . \end{cases}$

Þ BC ^ (SAB) Þ (SBC) ^ (SAB).

b) Theo giả thiết:

$\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D); \\ (S A D) ⊥ (A B C D); \\ (S A B) \cap (S A D) = S A . \end{cases}$

Suy ra SA ^ (ABCD).

Khi đó: $\{\begin{cases} C D ⊥ A D (A B C D l à h ì n h v u ô n g); \\ C D ⊥ S A (v ì S A ⊥ (A B C D)) . \end{cases}$

Þ CD ^ (SAD) Þ (SCD) ^ (SAD).

c) Ta có: $\{\begin{cases} B D ⊥ A C (A B C D l à h ì n h v u ô n g); \\ B D ⊥ S A (v ì S A ⊥ (A B C D)) . \end{cases}$

Þ BD ^ (SAC) Þ (SBD) ^ (SAC).

d) Ta có:

(SAB) ^ (SBC) (Chứng minh trên);

(SAB) Ç (SBC) = SB;

Do đó AH ^ (SBC)

Mà AH ^ SB (giả thiết).

Nên AH ^ SC. (1)

Tương tự: AK ^ SC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SC ^ (AHK).

Vậy (SAC) ^ (AHK).

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Cho biết SA = a và SA ^ (ABCD). Trên BC lấy điểm I sao cho tam giác SDI vuông tại S. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SDI) và (ABCD) là 60°. Tính độ dài SI.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Vẽ AK ^ ID (K Î ID).

Ta có ID ^ SA và ID ^ AK (1)

Þ ID ^ (SAK) Þ ID ^ SK. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $((S D I), (A B C D)) = \hat{A K S} = 60 ° .$

Xét tam giác SAK vuông tại A có: $\sin \hat{A K S} = \frac{S A}{S K} \Rightarrow S K = \frac{S A}{\sin 60 °} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Tam giác SAD vuông tại A, ta có: $S D = \sqrt{a^{2} + 4 a^{2}} = a \sqrt{5}$

Xét tam giác SID vuông tại S, ta có:

$\frac{1}{S K^{2}} = \frac{1}{S I^{2}} + \frac{1}{S D^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{S I^{2}} = \frac{1}{S K^{2}} - \frac{1}{S D^{2}}$

Do đó $S I = \frac{2 a \sqrt{55}}{11}$

Câu 3

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA ^ (ABC).

a) Chứng minh rằng (SBC) ^ (SAB).

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng (SBM) ^ (SAC).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và AB ^ (BCD). Cho biết BC = $a \sqrt{2}$ , AB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ . Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một hộp đèn treo trần có hình dạng lăng trụ đứng lục giác đều (Hình 15), cạnh đáy bằng 10 cm và cạnh bên bằng 50 cm. Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của hộp đèn.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 2 m, đáy nhỏ có cạnh bằng 1 m và cạnh bên bằng 2 m (Hình 14). Tính tổng diện tích các bề mặt cần sơn.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA ^ (ABC).

a) Chứng minh rằng (SBC) ^ (SAB).

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng (SBM) ^ (SAC).

Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và AB ^ (BCD). Cho biết BC = $a \sqrt{2}$ , AB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ . Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).