Câu hỏi:

12/07/2024 4,939

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a3 . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi (a) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (a) với các mặt của hình chóp.

b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Ta có:

(SAB) ^ (ABCD);

(SAD) ^ (ABCD);         

Do đó SA ^ (ABCD).

(SAB) Ç (SAD) = SA.

Dễ dàng chứng minh được (SAD) ^ (SCD).

Vẽ AM ^ SD (M Î SD) Þ AM ^ (SCD)

Do đó (ABM) ^ (SCD) hay (ABM) là mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

Trong mặt phẳng (SCD) kẻ MN // CD (N Î SC).

Suy ra: MN // AB Þ MN Ì (α).

Vậy các giao tuyến của (α) với các mặt của hình chóp là AB, BN, NM, MA.

b)

Ta có: MN // AB; AB ^ AM (vì AB ^ (SAD)).

Suy ra ABNM là hình thang vuông tại A và M.

Tam giác SAD vuông tại A có AM là đường cao nên:

1AM2=1SA2+1AD2=13a2+1a2=43a2AM=a32.

Vì MN // CD nên MNCD=SMSD

MNCD=SA2SD1SD=SA2SD2=SA2SA2+AD2=3a24a2

MN=34CD=34a

 SABMN=12.AM.(MN+AB)=12.a32.34a+a=7a2316

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Media VietJack

a) Theo giả thiết: 

SABABCD;SADABCD;SABSAD = SA.

Suy ra SA ^ (ABCD).

Khi đó: BCAB ABCD là hình vuông;BCSA (vì SAABCD).

Þ BC ^ (SAB) Þ (SBC) ^ (SAB).

b) Theo giả thiết:

SABABCD;SADABCD;SABSAD = SA.

Suy ra SA ^ (ABCD).

Khi đó: CDAD ABCD là hình vuông;CDSA (vì SAABCD).

Þ CD ^ (SAD) Þ (SCD) ^ (SAD).

c) Ta có: BDAC ABCD là hình vuông;BDSA (vì SAABCD).

Þ BD ^ (SAC) Þ (SBD) ^ (SAC).

d) Ta có:

(SAB) ^ (SBC) (Chứng minh trên);

(SAB) Ç (SBC) = SB;                           

Do đó AH ^ (SBC)

AH ^ SB (giả thiết).

Nên AH ^ SC. (1)

Tương tự: AK ^ SC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SC ^ (AHK).

Vậy (SAC) ^ (AHK).

Lời giải

Media VietJack

Vẽ AK ^ ID (K Î ID).

Ta có ID ^ SA và ID ^ AK (1)

Þ ID ^ (SAK) Þ ID ^ SK. (2)

Từ (1) và (2) suy ra SDI, ABCD=AKS^=60°.

Xét tam giác SAK vuông tại A có: sinAKS^=SASKSK=SAsin60°=2a3

Tam giác SAD vuông tại A, ta có: SD=a2+4a2=a5

Xét tam giác SID vuông tại S, ta có:

1SK2=1SI2+1SD21SI2=1SK21SD2

Do đó SI=2a5511

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP