Câu hỏi:

12/07/2024 4,939

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = $a \sqrt{3}$ . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi (a) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (a) với các mặt của hình chóp.

b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán học 11 CTST Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Ta có:

(SAB) ^ (ABCD);

(SAD) ^ (ABCD);

Do đó SA ^ (ABCD).

(SAB) Ç (SAD) = SA.

Dễ dàng chứng minh được (SAD) ^ (SCD).

Vẽ AM ^ SD (M Î SD) Þ AM ^ (SCD)

Do đó (ABM) ^ (SCD) hay (ABM) là mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

Trong mặt phẳng (SCD) kẻ MN // CD (N Î SC).

Suy ra: MN // AB Þ MN Ì (α).

Vậy các giao tuyến của (α) với các mặt của hình chóp là AB, BN, NM, MA.

Ta có: MN // AB; AB ^ AM (vì AB ^ (SAD)).

Suy ra ABNM là hình thang vuông tại A và M.

Tam giác SAD vuông tại A có AM là đường cao nên:

$\frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Vì MN // CD nên $\frac{M N}{C D} = \frac{S M}{S D}$

$\Rightarrow \frac{M N}{C D} = \frac{S A^{2}}{S D} \cdot \frac{1}{S D} = \frac{S A^{2}}{S D^{2}} = \frac{S A^{2}}{S A^{2} + A D^{2}} = \frac{3 a^{2}}{4 a^{2}}$

$\Rightarrow M N = \frac{3}{4} C D = \frac{3}{4} a$

$\Rightarrow S_{A B M N} = \frac{1}{2} . A M . (M N + A B) = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . (\frac{3}{4} a + a) = \frac{7 a^{2} \sqrt{3}}{16}$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Chứng minh rằng:

a) (SBC) ^ (SAB);

b) (SCD) ^ (SAD);

c) (SBD) ^ (SAC);

d) (SAC) ^ (AHK).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Theo giả thiết:

$\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D); \\ (S A D) ⊥ (A B C D); \\ (S A B) \cap (S A D) = S A . \end{cases}$

Suy ra SA ^ (ABCD).

Khi đó: $\{\begin{cases} B C ⊥ A B (A B C D l à h ì n h v u ô n g); \\ B C ⊥ S A (v ì S A ⊥ (A B C D)) . \end{cases}$

Þ BC ^ (SAB) Þ (SBC) ^ (SAB).

b) Theo giả thiết:

$\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D); \\ (S A D) ⊥ (A B C D); \\ (S A B) \cap (S A D) = S A . \end{cases}$

Suy ra SA ^ (ABCD).

Khi đó: $\{\begin{cases} C D ⊥ A D (A B C D l à h ì n h v u ô n g); \\ C D ⊥ S A (v ì S A ⊥ (A B C D)) . \end{cases}$

Þ CD ^ (SAD) Þ (SCD) ^ (SAD).

c) Ta có: $\{\begin{cases} B D ⊥ A C (A B C D l à h ì n h v u ô n g); \\ B D ⊥ S A (v ì S A ⊥ (A B C D)) . \end{cases}$

Þ BD ^ (SAC) Þ (SBD) ^ (SAC).

d) Ta có:

(SAB) ^ (SBC) (Chứng minh trên);

(SAB) Ç (SBC) = SB;

Do đó AH ^ (SBC)

Mà AH ^ SB (giả thiết).

Nên AH ^ SC. (1)

Tương tự: AK ^ SC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SC ^ (AHK).

Vậy (SAC) ^ (AHK).

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Cho biết SA = a và SA ^ (ABCD). Trên BC lấy điểm I sao cho tam giác SDI vuông tại S. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SDI) và (ABCD) là 60°. Tính độ dài SI.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Vẽ AK ^ ID (K Î ID).

Ta có ID ^ SA và ID ^ AK (1)

Þ ID ^ (SAK) Þ ID ^ SK. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $((S D I), (A B C D)) = \hat{A K S} = 60 ° .$

Xét tam giác SAK vuông tại A có: $\sin \hat{A K S} = \frac{S A}{S K} \Rightarrow S K = \frac{S A}{\sin 60 °} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Tam giác SAD vuông tại A, ta có: $S D = \sqrt{a^{2} + 4 a^{2}} = a \sqrt{5}$

Xét tam giác SID vuông tại S, ta có:

$\frac{1}{S K^{2}} = \frac{1}{S I^{2}} + \frac{1}{S D^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{S I^{2}} = \frac{1}{S K^{2}} - \frac{1}{S D^{2}}$

Do đó $S I = \frac{2 a \sqrt{55}}{11}$

Câu 3

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA ^ (ABC).

a) Chứng minh rằng (SBC) ^ (SAB).

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng (SBM) ^ (SAC).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và AB ^ (BCD). Cho biết BC = $a \sqrt{2}$ , AB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ . Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một hộp đèn treo trần có hình dạng lăng trụ đứng lục giác đều (Hình 15), cạnh đáy bằng 10 cm và cạnh bên bằng 50 cm. Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của hộp đèn.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 2 m, đáy nhỏ có cạnh bằng 1 m và cạnh bên bằng 2 m (Hình 14). Tính tổng diện tích các bề mặt cần sơn.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Cho biết SA = a và SA ^ (ABCD). Trên BC lấy điểm I sao cho tam giác SDI vuông tại S. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SDI) và (ABCD) là 60°. Tính độ dài SI.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA ^ (ABC). a) Chứng minh rằng (SBC) ^ (SAB). b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng (SBM) ^ (SAC).

Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và AB ^ (BCD). Cho biết BC = a2 , AB = a3 . Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

Một hộp đèn treo trần có hình dạng lăng trụ đứng lục giác đều (Hình 15), cạnh đáy bằng 10 cm và cạnh bên bằng 50 cm. Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của hộp đèn.

Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 2 m, đáy nhỏ có cạnh bằng 1 m và cạnh bên bằng 2 m (Hình 14). Tính tổng diện tích các bề mặt cần sơn.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA ^ (ABC).

a) Chứng minh rằng (SBC) ^ (SAB).

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng (SBM) ^ (SAC).

Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và AB ^ (BCD). Cho biết BC = $a \sqrt{2}$ , AB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ . Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).