Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ thì đa thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

${\text{ax}}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).$

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² + 11x + 18;

b) 3x² + 5x – 2.

a) Ta có: \(\Delta = {\left( { - 12} \right)^2} - 4.8 = 112 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = 12; x₁x₂ = 8.

b) Ta có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.\left( { - 5} \right) = 161 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};\) \({x_1}{x_2} = - \frac{5}{2}.\)

c) Ta có: \(\Delta = - 4.3.\left( { - 10} \right) = 120 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = 0; \({x_1}{x_2} = - \frac{{10}}{3}.\)

d) Ta có: \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.3 = 1 - 12 = - 11 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Nửa chu vi của bể bơi là 74 : 2 = 37 m.

Chiều rộng và chiều dài của bể bơi là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

x² – 37x + 300 = 0.

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 37} \right)^2} - 4.300 = 169;\) \(\sqrt \Delta   = \sqrt {169} = 13.\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm:

\({x_1} = \frac{{37 + 13}}{2} = \frac{{50}}{2} = 25;\) \({x_2} = \frac{{37 - 13}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12.\)

Vậy chiều rộng và chiều dài của bể bơi lần lượt là 12 m và 25 m.