Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ thì đa thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

${\text{ax}}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).$

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² + 11x + 18;

b) 3x² + 5x – 2.

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

a) x² – 12x + 8 = 0;

b) 2x² + 11x – 5 = 0;

c) 3x² – 10 = 0;

d) x² – x + 3 = 0.

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 2x² – 9x + 7 = 0;

b) 3x² + 11x + 8 = 0;

c) 7x² – 15x + 2 = 0, biết phương trình có một nghiệm x₁ = 2.

Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 300 m² và chu vi là 74 m. Tính các kích thước của bể bơi này.

Cho phương trình x² + x – 3 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂.

a) Tính giá trị của biểu thức x₁² + x₂².

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{1}{{{x_1}^2}}\) và \(\frac{1}{{{x_2}^2}}.\)

Tìm hai số u và v, biết:

a) u + v = 20, uv = 99;

b) u + v = 2, uv = 15.

Tìm m để phương trình x² + 4x + m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10.\)