Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ thì đa thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

${\text{ax}}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).$

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² + 11x + 18;

b) 3x² + 5x – 2.

Ta có \(\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 3} \right) = 13 > 0.\) Do đó, phương trình có hai nghiệm x₁, x₂.

Theo định lí Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{1} = - 1;\) \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3.\)

a) Ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = \left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) - 2{x_1}{x_2}\)

\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 3} \right) = 7.\)

b) Ta có: \(\frac{1}{{{x_1}^2}} + \frac{1}{{{x_2}^2}} = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{7}{9};\)

\(\frac{1}{{{x_1}^2}}.\frac{1}{{{x_2}^2}} = \frac{1}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{9}.\)

Vậy phương trình bậc hai nhận \(\frac{1}{{{x_1}^2}}\) và \(\frac{1}{{{x_2}^2}}\) làm nghiệm là \({x^2} - \frac{7}{9}x + \frac{1}{9} = 0.\)

Nửa chu vi của bể bơi là 74 : 2 = 37 m.

Chiều rộng và chiều dài của bể bơi là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

x² – 37x + 300 = 0.

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 37} \right)^2} - 4.300 = 169;\) \(\sqrt \Delta   = \sqrt {169} = 13.\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm:

\({x_1} = \frac{{37 + 13}}{2} = \frac{{50}}{2} = 25;\) \({x_2} = \frac{{37 - 13}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12.\)

Vậy chiều rộng và chiều dài của bể bơi lần lượt là 12 m và 25 m.