Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất \({\rm{x}}\) sản phẩm \((0 \le \) \({\rm{x}} \le 300\) ) được cho bởi hàm số \({\rm{y}} =  - {{\rm{x}}^3} + 300{{\rm{x}}^2}\) (dơn vị: nghìn đồng) và được minh họa bằng đồ thị ở Hinh vẽ .

Sự thay đổi lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra và dấu của đạo hàm \({{\rm{y}}^\prime }\) có mối liên hệ với nhau như thế nào?

Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em (Hình 5a) được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng 80 cm, mặt cắt được mô tả ở Hình vẽ. Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích của mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em.

a) Gọi S là diện tích mặt cắt. Tìm điều kiện của x và viết công thức tính S theo x. 

b) Với x đạt giá trị bằng bao nhiêu thì cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em?

Giả sử doanh số (tính bẳng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f(t) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm \({f^\prime }(t)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức \[f(x) = 0,01{x^3} - 0,04{x^2} + 0,25x + 0,44\] (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 \[(0 \le x \le 7)\]. (Theo: https://infographics.vn/interactive-xuat-khau-rau-qua- du-bao-bung-no-dat-4-ty-usd-trong-nam-2023/116220.vna)

a) Tính đạo hàm của hàm số y = f (x).

b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số \[N(t) = \frac{{25t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0\], trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.

b) Tính đạo hàm N’(t) và \[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } N(t)\]. Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.

Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số \[x\left( t \right) = {t^3} - 6{t^2} + 9t\] với t Khi đó x'(t) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu v(t); v'(t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu a(t).

a) Tìm các hàm v(t) và a(t).

b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?

Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, h độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức h(t) = 6t³ − 81t² + 324t. Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên.

a) Dựa vào đồ thị, hãy cho biết trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao?

b) Hãy kiểm tra lại kết quả ở câu a bằng cách đạo hàm và lập bảng xét dấu?

c) Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?

Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số

            \[y = h(x) =  - \frac{1}{{1320000}}{x^3} + \frac{9}{{3520}}{x^2} - \frac{{81}}{{44}}x + 840\] với 0 ≤ x ≤ 2000.

Tìm toạ độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn [0; 2000].