Câu hỏi:

17/07/2025 218 Lưu

Thể tích V của 1 kg nước (tính bằng cm3) ở nhiệt độ T (đơn vị: °C) khi T thay đổi từ 0°C đến 30°C được cho xấp xỉ bởi công thức:

V = 999,87 − 0,06426T + 0,0085043T2 − 0,0000769T 3.

      (Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning 8th edition, p.284)

a) Tìm nhiệt độ \[{T_0} \in \] (0; 30) để kể từ nhiệt độ \[{T_0}\]trở lên thì thể tích V tăng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

b) Hỏi thể tích V giảm trong khoảng nhiệt độ nào. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta có \({\rm{V}}({\rm{T}}) = 999,87 - 0,06426\;{\rm{T}} + 0,0085043\;{{\rm{T}}^2} - 0,0000679\;{{\rm{T}}^3}\) với \({\rm{T}} \in [0;30]\). \({{\rm{V}}^\prime }({\rm{T}}) =  - 0,06426 + 0,0170086\;{\rm{T}} - 0,0002037\;{{\rm{T}}^2}\)

\({{\rm{V}}^\prime }({\rm{T}}) = 0 \Leftrightarrow {\rm{T}} \approx 4\) hoặc \({\rm{T}} \approx 79,5\). Vì \({\rm{T}} \in [0;30]\) nên \({\rm{T}} \approx 4\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Thể tích V của 1 kg nước (tính bằng cm3) ở nhiệt độ T (đơn vị: °C) khi T thay đổi từ 0°C đến 30°C được cho xấp xỉ bởi công thức V = 999,87 − 0,06426T + 0,0085043T^2 − 0,0000769T^3. (ảnh 1)
 

Vậy thể tích \({\rm{V}}({\rm{T}})\) giảm trong khoảng nhiệt độ (0°C; 4°C).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Do tấm kim loại có bề rộng 80 cm nên ta có: 2x + y = 80\[ \Leftrightarrow \]y = 80 – 2x.

Để có thể thiết kế được máng trượt thì y > 0\[ \Leftrightarrow \]80−2x > 0\[ \Leftrightarrow \]x < 40.

Suy ra 0 < x < 40.

Diện tích của mặt cắt máng trượt là: S = xy = x(80 – 2x) = −2x2 + 80x.

b) Ta có: S(x) = − 2x2 + 80x với x \[ \in \] (0 ; 40);

S'(x)= − 4x+80;

S'(x)=0\[ \Leftrightarrow \]− 4x + 80=0\[ \Leftrightarrow \]x = 20.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em (Hình 5a) được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng 80 cm, mặt cắt được mô tả ở Hình vẽ. Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích của mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em.  Gọi S là diện tích mặt cắt. Tìm điều kiện của x và viết công thức tính S theo x (ảnh 2)

Do đó, hàm số S(x) đạt cực đại tại x = 20 và S = 80.

Vậy để cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì x = 20 cm.

Lời giải

Ta có: \({f^\prime }(t) = \frac{{ - 5000\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\)

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \({f^\prime }(t)\) lớn nhất. Đặt \(h(t) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\).

\({h^\prime }(t) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 5{e^{ - t}}} \right) \cdot \left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right) \cdot 25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)

\( = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} \Leftrightarrow {h^\prime }(t) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5({\rm{tm}})\)

Ta có bảng biến thiên với \(t \in [0; + \infty )\):

Giả sử doanh số (tính bẳng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số f(x)=5000/1+5e^-t, t>=0 trong đó thời gian t  được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới (ảnh 1)

Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.