Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f (x) = 2x³ – 9x² + 12x + 1 trên đoạn [0; 3]

Ta có: \({y^\prime } = \cos x - \sin x;{y^\prime } = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}\) hoặc \(x = \frac{{5\pi }}{4}\) (vì \(x \in [0;2\pi ]\) )

\(y(0) = 1;y(2\pi ) = 1;y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 ;y\left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) = - \sqrt 2 {\rm{. }}\)

Do đó: \({\max _{[0,2\pi ]}}y = y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 ;{\min _{[0;2\pi ]}}y = y\left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) = - \sqrt 2 \).

Ta có: f '(x) = 4x³ − 16x;

           f '(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 hoặc x = −2 (loại vì không thuộc [−1; 3]);    

           f (−1) = 2; f (0) = 9; f (2) = −7; f (3) = 18.

Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} \] f (x) = f (3) = 18 và \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} \] f (x) = f (2) = −7.