Tìm giá trị lớn nhất và̀ giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

\(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 5x + 2\) trên đoạn [0 ; 2]

Ta có: \({y^\prime } = \cos x - \sin x;{y^\prime } = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}\) hoặc \(x = \frac{{5\pi }}{4}\) (vì \(x \in [0;2\pi ]\) )

\(y(0) = 1;y(2\pi ) = 1;y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 ;y\left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) = - \sqrt 2 {\rm{. }}\)

Do đó: \({\max _{[0,2\pi ]}}y = y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 ;{\min _{[0;2\pi ]}}y = y\left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) = - \sqrt 2 \).

Ta có: \({y^\prime } = {e^{ - x}} - (x + 1){e^{ - x}} = {e^{ - x}}(1 - x - 1) = - x \cdot {e^{ - x}}\)

\({y^\prime } = 0 \Leftrightarrow - x.{e^{ - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn \(x \in [ - 1;1]\) )

\(y( - 1) = 0;y(0) = 1;y(1) = \frac{2}{2}\) Do đó, \({\max _{[ - 1;1]}}y = y(0) = 1,{\min _{[ - 1;1]}}y = y( - 1) = 0\)