Câu hỏi:

31/07/2025 9 Lưu

Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như Hình 36 (bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?
 Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
 Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông (ảnh 2)

Dựng các đường cao AE và BF của hình thang cân ABCD như hình vẽ trên.

Vi ABCD là hình thang cân nên \(DE = FC\)\(EF = AB = a\).

Đặt \({\rm{DE}} = {\rm{FC}} = {\rm{x}}({\rm{m}})({\rm{x}} > 0)\).

Ta có \({\rm{DC}} = {\rm{DE}} + {\rm{EF}} + {\rm{FC}} = {\rm{x}} + {\rm{a}} + {\rm{x}} = 2{\rm{x}} + {\rm{a}}\).

Theo định lí Pythagore, ta suy ra \({\rm{AE}} = \sqrt {A{D^2} - D{E^2}} = \sqrt {{a^2} - {x^2}} (\;{\rm{m}})\).

Rõ ràng, \({\rm{x}}\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 < x < a\).

Diện tích của hình thang cân ABCD là:

\({\rm{S}} = \frac{1}{2}({\rm{AB}} + {\rm{CD}}){\rm{AE}} = \frac{1}{2}({\rm{a}} + 2{\rm{x}} + {\rm{a}})\sqrt {{a^2} - {x^2}} = ({\rm{a}} + {\rm{x}})\sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{. }}\)

Xét hàm số \({\rm{S}}({\rm{x}}) = ({\rm{a}} + {\rm{x}})\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) với \({\rm{x}} \in (0;{\rm{a}})\).

Ta có \(S(x) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\);

\(S(x) = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} - ax + {a^2} = 0 \Leftrightarrow (x + a)(a - 2x) = 0 \Leftrightarrow x = - {\rm{ a hoac }}x = \frac{a}{2}{\rm{. }}\)

Khi đó trên khoảng \((0;a),S(x) = 0\) khi \({\rm{x}} = \frac{a}{2}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(S(x)\) như sau:

 Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông (ảnh 3)

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số \({\rm{S}}({\rm{x}})\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) tại \(x = \frac{a}{2}\).

Vậy bác đó có thề rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhắt là \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD’ như hình vẽ trên

Gọi x (m) là chiều rộng của bể, ta có \[0 < x \le 4\].

Chiều dài của bể là 2x (m).

Gọi h (m) là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là V = x.(2x).h.

Suy ra: \[h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}{\rm{ }}(m)\]

Tổng diện tích các mặt cần xây là:

\[S = {S_{ABCD}} + 2{S_{ABB'A'}} + 2{S_{BCC'B'}} = 2{x^2} + 2.x.\frac{{18}}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{{18}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\]

Xét hàm số \[S(x) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}(0 < x \le 4)\], ta có: \[S'(x) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 108}}{{{x^2}}} = \frac{{4(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{{x^2}}}\]

\[S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\]

Bảng biến thiên:

 Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn (ảnh 2)

Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây S(x) là nhỏ nhất.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có S(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3, suy ra h = 2.

Vậy cần xây bể có chiều cao là 2 (m).

Lời giải

Tập xác định: \({\rm{D}} = {\rm{R}}\).

\({y^\prime } = - \frac{{15\left( {9{t^2} + 1} \right) - 270{t^2}}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{ - 135{t^2} + 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\({{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow 135{{\rm{t}}^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}({\rm{vt}} \ge 0)\)

Bảng biến thiên

 Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ y có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là \(t = 0\) và thấp nhất \(t = \frac{1}{3}\)