Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như Hình 36 (bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông (ảnh 2)

Dựng các đường cao AE và BF của hình thang cân ABCD như hình vẽ trên.

Vi ABCD là hình thang cân nên \(DE = FC\) và \(EF = AB = a\).

Đặt \({\rm{DE}} = {\rm{FC}} = {\rm{x}}({\rm{m}})({\rm{x}} > 0)\).

Ta có \({\rm{DC}} = {\rm{DE}} + {\rm{EF}} + {\rm{FC}} = {\rm{x}} + {\rm{a}} + {\rm{x}} = 2{\rm{x}} + {\rm{a}}\).

Theo định lí Pythagore, ta suy ra \({\rm{AE}} = \sqrt {A{D^2} - D{E^2}} = \sqrt {{a^2} - {x^2}} (\;{\rm{m}})\).

Rõ ràng, \({\rm{x}}\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 < x < a\).

Diện tích của hình thang cân ABCD là:

\({\rm{S}} = \frac{1}{2}({\rm{AB}} + {\rm{CD}}){\rm{AE}} = \frac{1}{2}({\rm{a}} + 2{\rm{x}} + {\rm{a}})\sqrt {{a^2} - {x^2}} = ({\rm{a}} + {\rm{x}})\sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{. }}\)

Xét hàm số \({\rm{S}}({\rm{x}}) = ({\rm{a}} + {\rm{x}})\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) với \({\rm{x}} \in (0;{\rm{a}})\).

Ta có \(S(x) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\);

\(S(x) = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} - ax + {a^2} = 0 \Leftrightarrow (x + a)(a - 2x) = 0 \Leftrightarrow x = - {\rm{ a hoac }}x = \frac{a}{2}{\rm{. }}\)

Khi đó trên khoảng \((0;a),S(x) = 0\) khi \({\rm{x}} = \frac{a}{2}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(S(x)\) như sau:

Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông (ảnh 3)

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số \({\rm{S}}({\rm{x}})\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) tại \(x = \frac{a}{2}\).

Vậy bác đó có thề rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhắt là \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm (Hình 4a), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh x (cm) với 5 ≤ x ≤ 10 và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình 4b. Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

Lời giải

Thể tích chiếc hộp là: V(x) = x(30 – 2x)(80 – 2x) = 2 400x – 220x² + 4x³ với 5 ≤ x ≤ 10.

Ta có: V '(x) = 12x² – 440x + 2 400;

V '(x) = 0 ⇔ x = hoặc x = 30 (loại vì không thuộc [5; 10]);

V(5) = 7 000; \[V\left( {\frac{{20}}{3}} \right) = \frac{{200000}}{{27}}\]_; V(10) = 6 000.

Do đó \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {5;10} \right]} V\left( x \right) = \frac{{200000}}{{27}}{\rm{ khi x = }}\frac{{20}}{3}\]

Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì x = \[\frac{{20}}{3}\] cm.

Câu 2