Có hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA’ = 500 m, BB’ = 600 m và người ta đo được A'B' = 2200 m (Hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A’B' sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt \(AM = x(m)\).

Suy ra \(BM = A{B^\prime } - AM = 2200 - x(m)\).

Rõ ràng, \({\rm{x}}\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 < x < 2200\).

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:

\({\rm{AM}} = \sqrt {{A^\prime }{A^2} + {A^\prime }{M^2}} = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} (\;{\rm{m}});{\rm{ BM}} = \sqrt {B{B^{\prime 2}} + {B^\prime }{M^2}} = \sqrt {{{600}^2} + \left( {2200 - {x^2}} \right)} ({\rm{m}}).\)

Tống khoảng cách từ hai vị trí \({\rm{A}},{\rm{B}}\) đến vị trí \({\rm{M}}\) là

\({\rm{D}} = {\rm{AM}} + {\rm{BM}} = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} + \sqrt {{{600}^2} + \left( {2200 - {x^2}} \right)} ({\rm{m}}){\rm{. }}\)

Xét hàm số \({\rm{D}}({\rm{x}}) = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} + \sqrt {{{600}^2} + \left( {2200 - {x^2}} \right)} \) với \({\rm{x}} \in (0;2200)\).

Ta có \({{\rm{D}}^\prime }({\rm{X}}) = \frac{x}{{\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} }} + \frac{{x - 2200}}{{\sqrt {{{600}^2} + {{(2200 - x)}^2}} }}\);

Trên khoảng \((0;2200)\), ta thấy \(D(x) = 0\) khi \(x = 1000\).

Bảng biến thiên của hàm số \(D(x)\) như sau:

Có hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA’ = 500 m, BB’ = 600 m (ảnh 2)

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số \({\rm{D}}({\rm{x}})\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(1100\sqrt 5 \) tại \({\rm{x}} = 1000\). Vậy giá trị nhỏ nhất của tống khoảng cách cần tìm là \(1100\sqrt 5 \;{\rm{m}}\).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm (Hình 4a), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh x (cm) với 5 ≤ x ≤ 10 và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình 4b. Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

Lời giải

Thể tích chiếc hộp là: V(x) = x(30 – 2x)(80 – 2x) = 2 400x – 220x² + 4x³ với 5 ≤ x ≤ 10.

Ta có: V '(x) = 12x² – 440x + 2 400;

V '(x) = 0 ⇔ x = hoặc x = 30 (loại vì không thuộc [5; 10]);

V(5) = 7 000; \[V\left( {\frac{{20}}{3}} \right) = \frac{{200000}}{{27}}\]_; V(10) = 6 000.

Do đó \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {5;10} \right]} V\left( x \right) = \frac{{200000}}{{27}}{\rm{ khi x = }}\frac{{20}}{3}\]

Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì x = \[\frac{{20}}{3}\] cm.

Câu 2