Câu hỏi:

31/07/2025 5 Lưu

Có hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA’ = 500 m, BB’ = 600 m và người ta đo được A'B' = 2200 m (Hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A’B' sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

 Có hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA’ = 500 m, BB’ = 600 m (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đặt \(AM = x(m)\).

Suy ra \(BM = A{B^\prime } - AM = 2200 - x(m)\).

Rõ ràng, \({\rm{x}}\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 < x < 2200\).

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:

\({\rm{AM}} = \sqrt {{A^\prime }{A^2} + {A^\prime }{M^2}} = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} (\;{\rm{m}});{\rm{ BM}} = \sqrt {B{B^{\prime 2}} + {B^\prime }{M^2}} = \sqrt {{{600}^2} + \left( {2200 - {x^2}} \right)} ({\rm{m}}).\)

Tống khoảng cách từ hai vị trí \({\rm{A}},{\rm{B}}\) đến vị trí \({\rm{M}}\)

\({\rm{D}} = {\rm{AM}} + {\rm{BM}} = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} + \sqrt {{{600}^2} + \left( {2200 - {x^2}} \right)} ({\rm{m}}){\rm{. }}\)

Xét hàm số \({\rm{D}}({\rm{x}}) = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} + \sqrt {{{600}^2} + \left( {2200 - {x^2}} \right)} \) với \({\rm{x}} \in (0;2200)\).

Ta có \({{\rm{D}}^\prime }({\rm{X}}) = \frac{x}{{\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} }} + \frac{{x - 2200}}{{\sqrt {{{600}^2} + {{(2200 - x)}^2}} }}\);

Trên khoảng \((0;2200)\), ta thấy \(D(x) = 0\) khi \(x = 1000\).

Bảng biến thiên của hàm số \(D(x)\) như sau:

 Có hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA’ = 500 m, BB’ = 600 m (ảnh 2)

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số \({\rm{D}}({\rm{x}})\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(1100\sqrt 5 \) tại \({\rm{x}} = 1000\). Vậy giá trị nhỏ nhất của tống khoảng cách cần tìm là \(1100\sqrt 5 \;{\rm{m}}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD’ như hình vẽ trên

Gọi x (m) là chiều rộng của bể, ta có \[0 < x \le 4\].

Chiều dài của bể là 2x (m).

Gọi h (m) là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là V = x.(2x).h.

Suy ra: \[h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}{\rm{ }}(m)\]

Tổng diện tích các mặt cần xây là:

\[S = {S_{ABCD}} + 2{S_{ABB'A'}} + 2{S_{BCC'B'}} = 2{x^2} + 2.x.\frac{{18}}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{{18}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\]

Xét hàm số \[S(x) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}(0 < x \le 4)\], ta có: \[S'(x) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 108}}{{{x^2}}} = \frac{{4(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{{x^2}}}\]

\[S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\]

Bảng biến thiên:

 Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn (ảnh 2)

Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây S(x) là nhỏ nhất.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có S(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3, suy ra h = 2.

Vậy cần xây bể có chiều cao là 2 (m).

Lời giải

Tập xác định: \({\rm{D}} = {\rm{R}}\).

\({y^\prime } = - \frac{{15\left( {9{t^2} + 1} \right) - 270{t^2}}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{ - 135{t^2} + 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\({{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow 135{{\rm{t}}^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}({\rm{vt}} \ge 0)\)

Bảng biến thiên

 Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ y có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là \(t = 0\) và thấp nhất \(t = \frac{1}{3}\)