Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm3. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm2, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm2. Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi bán kính đáy của bình là \({\rm{x}}({\rm{cm}},x > 0)\)
Chiều cao của bình là: \(\frac{{1000}}{{\pi \cdot {x^2}}}(\;{\rm{cm}})\)
Chi phí để sản xuất một chiếc bình là: \(T(x) = 2.1,2 \cdot \pi \cdot {x^2} + 0,75 \cdot \frac{{2000}}{x} = 2,4\pi \cdot {x^2} + \frac{{1500}}{x}\) (nghìn đồng) Để chi phí sản xuất mồi chiếc bình là thấp nhất thì \({\rm{T}}({\rm{x}})\) là nhỏ nhất.
\({T^\prime }(x) = 4,8\pi x - \frac{{1500}}{{{x^2}}},{T^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}{\rm{ (th?a m\~a n) }}\)
Bảng biến thiên:
Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là \(\sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}{\rm{cm}}\) và chiều cao của bình là: \(\frac{{1000}}{{\pi \cdot {{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}}(\;{\rm{cm}})\)
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ trên
Gọi x (m) là chiều rộng của bể, ta có \[0 < x \le 4\].
Chiều dài của bể là 2x (m).
Gọi h (m) là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là V = x.(2x).h.
Suy ra: \[h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}{\rm{ }}(m)\]
Tổng diện tích các mặt cần xây là:
\[S = {S_{ABCD}} + 2{S_{ABB'A'}} + 2{S_{BCC'B'}} = 2{x^2} + 2.x.\frac{{18}}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{{18}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\]
Xét hàm số \[S(x) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}(0 < x \le 4)\], ta có: \[S'(x) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 108}}{{{x^2}}} = \frac{{4(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{{x^2}}}\]
\[S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\]
Bảng biến thiên:
Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây S(x) là nhỏ nhất.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có S(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3, suy ra h = 2.
Vậy cần xây bể có chiều cao là 2 (m).
Lời giải
Xét hàm số \(f(x) = \left( {{x_0} - x} \right){x^2}\) với \({x_0}\) cố định và \(\frac{1}{2}{x_0} \le x \le {x_0}\).
Do \(k\) là hằng số nên vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi \(f(x)\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \(f(x) = - {x^3} + {x_0}{x^2}\);
\({f^\prime }(x) = - 3{x^2} + 2{x_0}x;{\rm{ }}{f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0{\rm{ hoac }}x = \frac{2}{3}{x_0}.\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \({\max _{\left[ {\frac{1}{2}{x_j}{x_0}} \right]}}f(x) = f\left( {\frac{2}{3}{x_0}} \right)\).
Vậy vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi \(x = \frac{2}{3}{x_0}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo