Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b.

a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: \[r = \frac{{5\left( {12 - h} \right)}}{{12}}\]

b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: \[V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\]

c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta đặt tên các điểm như hình vẽ

Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (ảnh 2)

Ta có AO' // AO nên \(\frac{{S{O^\prime }}}{{SO}} = \frac{{S{A^\prime }}}{{SA}}\).

Lại có A \({\rm{C}}//\) SO nên \(\frac{{S{A^\prime }}}{{SA}} = \frac{{OC}}{{OA}}\).

Từ đó suy ra \(\frac{{S{O^\prime }}}{{SO}} = \frac{{OC}}{{OA}}\).

Mà \(SO = 12\;{\rm{cm}},OA = 5\;{\rm{cm}},OC = r,S{O^\prime } = SO - O{O^\prime } = 12 - h\).

Do đó, \(\frac{{12 - h}}{{12}} = \frac{r}{5}\). Suy ra \(r = \frac{{5(12 - h)}}{{12}}\).

b) Thể tích của khối trụ là \({\rm{V}} = \pi {{\rm{r}}^2}\;{\rm{h}} = \pi \cdot {\left[ {\frac{{5(12 - h)}}{{12}}} \right]^2} \cdot h = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Vậy thế tích khối trụ theo h là \(V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\).

c) Rõ ràng \({\rm{h}}\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 < h < 12\).

Xét hàm số \(V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\) với \(h \in (0;12)\).

Ta có \({V^\prime }(h) = \frac{{25\pi (12 - h)(12 - 3h)}}{{144}}\).

Trên khoảng \((0;12)\), ta có \({\rm{V}}({\rm{h}}) = 0\) khi \({\rm{h}} = 4\).

Bảng biến thiên:

Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (ảnh 3)

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng \((0;12)\), hàm số \({\rm{V}}({\rm{h}})\) đạt giá trị lớn nhất bẳng \(\frac{{400\pi }}{9}\) tại \(h = 4\).

Vậy \({\rm{h}} = 4\;{\rm{cm}}\) thì khối trụ có thế tích lớn nhất

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm (Hình 4a), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh x (cm) với 5 ≤ x ≤ 10 và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình 4b. Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

Lời giải

Thể tích chiếc hộp là: V(x) = x(30 – 2x)(80 – 2x) = 2 400x – 220x² + 4x³ với 5 ≤ x ≤ 10.

Ta có: V '(x) = 12x² – 440x + 2 400;

V '(x) = 0 ⇔ x = hoặc x = 30 (loại vì không thuộc [5; 10]);

V(5) = 7 000; \[V\left( {\frac{{20}}{3}} \right) = \frac{{200000}}{{27}}\]_; V(10) = 6 000.

Do đó \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {5;10} \right]} V\left( x \right) = \frac{{200000}}{{27}}{\rm{ khi x = }}\frac{{20}}{3}\]

Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì x = \[\frac{{20}}{3}\] cm.

Câu 2