Câu hỏi:

31/07/2025 6 Lưu

Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b.

 Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm  (ảnh 1)

a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: \[r = \frac{{5\left( {12 - h} \right)}}{{12}}\]

b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: \[V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\]

c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Ta đặt tên các điểm như hình vẽ

 Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm  (ảnh 2)

Ta có AO' // AO nên \(\frac{{S{O^\prime }}}{{SO}} = \frac{{S{A^\prime }}}{{SA}}\).

Lại có A \({\rm{C}}//\) SO nên \(\frac{{S{A^\prime }}}{{SA}} = \frac{{OC}}{{OA}}\).

Từ đó suy ra \(\frac{{S{O^\prime }}}{{SO}} = \frac{{OC}}{{OA}}\).

\(SO = 12\;{\rm{cm}},OA = 5\;{\rm{cm}},OC = r,S{O^\prime } = SO - O{O^\prime } = 12 - h\).

Do đó, \(\frac{{12 - h}}{{12}} = \frac{r}{5}\). Suy ra \(r = \frac{{5(12 - h)}}{{12}}\).

b) Thể tích của khối trụ là \({\rm{V}} = \pi {{\rm{r}}^2}\;{\rm{h}} = \pi \cdot {\left[ {\frac{{5(12 - h)}}{{12}}} \right]^2} \cdot h = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Vậy thế tích khối trụ theo h là \(V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\).

c) Rõ ràng \({\rm{h}}\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 < h < 12\).

Xét hàm số \(V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\) với \(h \in (0;12)\).

Ta có \({V^\prime }(h) = \frac{{25\pi (12 - h)(12 - 3h)}}{{144}}\).

Trên khoảng \((0;12)\), ta có \({\rm{V}}({\rm{h}}) = 0\) khi \({\rm{h}} = 4\).

Bảng biến thiên:

 Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm  (ảnh 3)

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng \((0;12)\), hàm số \({\rm{V}}({\rm{h}})\) đạt giá trị lớn nhất bẳng \(\frac{{400\pi }}{9}\) tại \(h = 4\).

Vậy \({\rm{h}} = 4\;{\rm{cm}}\) thì khối trụ có thế tích lớn nhất

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD’ như hình vẽ trên

Gọi x (m) là chiều rộng của bể, ta có \[0 < x \le 4\].

Chiều dài của bể là 2x (m).

Gọi h (m) là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là V = x.(2x).h.

Suy ra: \[h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}{\rm{ }}(m)\]

Tổng diện tích các mặt cần xây là:

\[S = {S_{ABCD}} + 2{S_{ABB'A'}} + 2{S_{BCC'B'}} = 2{x^2} + 2.x.\frac{{18}}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{{18}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\]

Xét hàm số \[S(x) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}(0 < x \le 4)\], ta có: \[S'(x) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 108}}{{{x^2}}} = \frac{{4(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{{x^2}}}\]

\[S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\]

Bảng biến thiên:

 Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn (ảnh 2)

Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây S(x) là nhỏ nhất.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có S(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3, suy ra h = 2.

Vậy cần xây bể có chiều cao là 2 (m).

Lời giải

Tập xác định: \({\rm{D}} = {\rm{R}}\).

\({y^\prime } = - \frac{{15\left( {9{t^2} + 1} \right) - 270{t^2}}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{ - 135{t^2} + 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\({{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow 135{{\rm{t}}^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}({\rm{vt}} \ge 0)\)

Bảng biến thiên

 Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ y có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là \(t = 0\) và thấp nhất \(t = \frac{1}{3}\)