Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b.
a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: \[r = \frac{{5\left( {12 - h} \right)}}{{12}}\]
b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: \[V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\]
c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b.

a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: \[r = \frac{{5\left( {12 - h} \right)}}{{12}}\]
b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: \[V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\]
c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
a) Ta đặt tên các điểm như hình vẽ

Ta có AO' // AO nên \(\frac{{S{O^\prime }}}{{SO}} = \frac{{S{A^\prime }}}{{SA}}\).
Lại có A \({\rm{C}}//\) SO nên \(\frac{{S{A^\prime }}}{{SA}} = \frac{{OC}}{{OA}}\).
Từ đó suy ra \(\frac{{S{O^\prime }}}{{SO}} = \frac{{OC}}{{OA}}\).
Mà \(SO = 12\;{\rm{cm}},OA = 5\;{\rm{cm}},OC = r,S{O^\prime } = SO - O{O^\prime } = 12 - h\).
Do đó, \(\frac{{12 - h}}{{12}} = \frac{r}{5}\). Suy ra \(r = \frac{{5(12 - h)}}{{12}}\).
b) Thể tích của khối trụ là \({\rm{V}} = \pi {{\rm{r}}^2}\;{\rm{h}} = \pi \cdot {\left[ {\frac{{5(12 - h)}}{{12}}} \right]^2} \cdot h = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Vậy thế tích khối trụ theo h là \(V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\).
c) Rõ ràng \({\rm{h}}\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 < h < 12\).
Xét hàm số \(V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\) với \(h \in (0;12)\).
Ta có \({V^\prime }(h) = \frac{{25\pi (12 - h)(12 - 3h)}}{{144}}\).
Trên khoảng \((0;12)\), ta có \({\rm{V}}({\rm{h}}) = 0\) khi \({\rm{h}} = 4\).
Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng \((0;12)\), hàm số \({\rm{V}}({\rm{h}})\) đạt giá trị lớn nhất bẳng \(\frac{{400\pi }}{9}\) tại \(h = 4\).
Vậy \({\rm{h}} = 4\;{\rm{cm}}\) thì khối trụ có thế tích lớn nhất
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ trên
Gọi x (m) là chiều rộng của bể, ta có \[0 < x \le 4\].
Chiều dài của bể là 2x (m).
Gọi h (m) là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là V = x.(2x).h.
Suy ra: \[h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}{\rm{ }}(m)\]
Tổng diện tích các mặt cần xây là:
\[S = {S_{ABCD}} + 2{S_{ABB'A'}} + 2{S_{BCC'B'}} = 2{x^2} + 2.x.\frac{{18}}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{{18}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\]
Xét hàm số \[S(x) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}(0 < x \le 4)\], ta có: \[S'(x) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 108}}{{{x^2}}} = \frac{{4(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{{x^2}}}\]
\[S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\]
Bảng biến thiên:

Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây S(x) là nhỏ nhất.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có S(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3, suy ra h = 2.
Vậy cần xây bể có chiều cao là 2 (m).
Lời giải
Tập xác định: \({\rm{D}} = {\rm{R}}\).
Có \({y^\prime } = - \frac{{15\left( {9{t^2} + 1} \right) - 270{t^2}}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{ - 135{t^2} + 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}}\)
Có \({{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow 135{{\rm{t}}^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}({\rm{vt}} \ge 0)\)
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là \(t = 0\) và thấp nhất \(t = \frac{1}{3}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.