Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b.

a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: \[r = \frac{{5\left( {12 - h} \right)}}{{12}}\]

b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: \[V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\]

c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn. Do các điều kiện về diện tích vườn, ông Nam cần bể có thể tích là 36 m3, đáy bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và chiều rộng không quá 4 m, biết rằng chi phí vật liệu xây dựng mỗi mét vuông diện tích bề mặt là như nhau. Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu để tổng chi phí vật liệu là nhỏ nhất?

Khi một vật lạ mắc kẹt trong khí quản khiến ta phải ho, cơ hoành đẩy lên trên gây ra tăng áp lực trong phổi, theo đó cuống họng co thắt làm hẹp khí quản khiến không khí đi qua mạnh hơn. Đối với một lượng không khí bị đẩy ra trong một khoảng thời gian cố định, khí quản càng nhỏ thì luồng không khí càng đẩy ra nhanh hơn. Vận tốc luồng khí thoát ra càng cao, lực tác động lên vật lạ càng lớn. Qua nghiên cứu một số trường hợp, người ta nhận thấy vận tốc \(v\) của luồng khí liên hệ với bán kính \(x\) của khí quản theo công thức: \(v(x) = k\left( {{x_0} - x} \right){x^2}{\rm{ v?i }}\frac{1}{2}{x_0} \le x \le {x_0},\)trong đó \(k\) là hằng số \((k > 0)\) và \({x_0}\) là bán kính khí quản ở trạng thái bình thường. Tìm \(x\) theo \({x_0}\) để vận tốc của luồng khí một cơn ho trong trường hợp này là lớn nhất. (Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning 8th edition, p.285)

Một hồ nược nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ (Hình vẽ), nó được giối hạn bởi các trục toạ độ và đồ thị của hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\). Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là \(100\;{\rm{m}}\)

(Nguồn: \({\rm{A}}\). Bigalke et al, Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2010).

a) Đường dạo ven hổ chạy dọc theo trục Ox dài bao nhiêu mét?

b) Tại những điểm nào trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) thì khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hổ đối diện là lôn nhất? Tìm khoảng cách lớn nhất đó.

c) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số \(y =  - 1,5x + 18\). Người ta dự định xây dựng bên bờ hổ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyển đến con đường này là ngắn nhất. Tìm tọ̣a độ của điểm để xây bến thuyền này.

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?