Cho hàm số y = \[\frac{{x + 1}}{x}\] có đồ thị như Hình bên dưới.

 

a) Quan sát đồ thị, hãy cho biết tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho và giải thích?

b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình vẽ). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2 + \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} =  - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2 + \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} =  - 2\]

Vậy đường thẳng \[y =  - 2\] là TCN của đồ thị hàm số đã cho.

a)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4};{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4}.\)

Vậy \(y = \frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{{\sqrt x }}}} = 1;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{{\sqrt x }}}} = 1.\)

Vậy \({\rm{y}} = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.