Câu hỏi:

19/08/2025 73 Lưu

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 1 - \sqrt[{}]{{x + 1}}}}{{{x^2} + 2x}}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Tập xác định: \(D = \left[ { - 1\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ {0\,} \right\}\).

·\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5x + 1 - \sqrt[{}]{{x + 1}}}}{{{x^2} + 2x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{5}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \sqrt[{}]{{\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}}}}}{{1 + \frac{2}{x}}}\)\( = 0\)\( \Rightarrow y = 0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

·\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5x + 1 - \sqrt[{}]{{x + 1}}}}{{{x^2} + 2x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {5x + 1} \right)}^2} - x - 1}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt[{}]{{x + 1}}} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25{x^2} + 9x}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt[{}]{{x + 1}}} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25x + 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt[{}]{{x + 1}}} \right)}}\]\[ = \frac{{ - 9}}{4}\]

\( \Rightarrow x = 0\)không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả \(1\) đường tiệm cận.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty \]\[ \Rightarrow \] \[{\Delta _1}:x =  - 1\] là tiệm cận đứng của \[\left( C \right)\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2\]\[ \Rightarrow \]\[{\Delta _2}:y = 2\]là tiệm cận ngang của \[\left( C \right)\].

Ta có \[y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\], gọi \[M\left( {a;2 - \frac{3}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\], \[\left( {a \ne  - 1} \right)\].

\[d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {a + 1} \right|\].

\[d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \left| {\frac{{ - 3}}{{a + 1}}} \right| = \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}\].

\[S = d\left( {M,{\Delta _1}} \right) + d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \left| {a + 1} \right| + \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} \ge 2.\sqrt {\left| {a + 1} \right|.\frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}}  = 2\sqrt 3 ,\forall a \ne  - 1\].

Suy ra \[\min S = 2\sqrt 3 \], đạt được khi \[\left| {a + 1} \right| = \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1 - \sqrt 3 \\a =  - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\].

Do đó \[{M_1}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\], \[{M_2}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right)\] là hai điểm trên \[\left( C \right)\] có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất.

Vậy \[P = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} = \left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right) + \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) =  - 1\].

Lời giải

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\] có các đường tiệm cận là \[x = 3,y = 2\].

Do vậy hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật diện tích bằng \[6\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP