Đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 1 - \sqrt[{}]{{x + 1}}}}{{{x^2} + 2x}}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Tập xác định: \(D = \left[ { - 1\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ {0\,} \right\}\).

·\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5x + 1 - \sqrt[{}]{{x + 1}}}}{{{x^2} + 2x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{5}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \sqrt[{}]{{\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}}}}}{{1 + \frac{2}{x}}}\)\( = 0\)\( \Rightarrow y = 0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

·\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5x + 1 - \sqrt[{}]{{x + 1}}}}{{{x^2} + 2x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {5x + 1} \right)}^2} - x - 1}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt[{}]{{x + 1}}} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25{x^2} + 9x}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt[{}]{{x + 1}}} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25x + 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt[{}]{{x + 1}}} \right)}}\]\[ = \frac{{ - 9}}{4}\]

\( \Rightarrow x = 0\)không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả \(1\) đường tiệm cận.