Cho hàm số \[y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\,\,\left( C \right)\]. Biết rằng \[{M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\] và \[{M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là hai điểm trên đồ thị \[\left( C \right)\] có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận của \[\left( C \right)\] nhỏ nhất. Tính giá trị \[P = {x_1}.{x_2} + {y_1}{y_2}\].

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty \]\[ \Rightarrow \] \[{\Delta _1}:x =  - 1\] là tiệm cận đứng của \[\left( C \right)\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2\]\[ \Rightarrow \]\[{\Delta _2}:y = 2\]là tiệm cận ngang của \[\left( C \right)\].

Ta có \[y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\], gọi \[M\left( {a;2 - \frac{3}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\], \[\left( {a \ne  - 1} \right)\].

\[d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {a + 1} \right|\].

\[d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \left| {\frac{{ - 3}}{{a + 1}}} \right| = \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}\].

\[S = d\left( {M,{\Delta _1}} \right) + d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \left| {a + 1} \right| + \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} \ge 2.\sqrt {\left| {a + 1} \right|.\frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}}  = 2\sqrt 3 ,\forall a \ne  - 1\].

Suy ra \[\min S = 2\sqrt 3 \], đạt được khi \[\left| {a + 1} \right| = \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1 - \sqrt 3 \\a =  - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\].

Do đó \[{M_1}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\], \[{M_2}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right)\] là hai điểm trên \[\left( C \right)\] có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất.

Vậy \[P = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} = \left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right) + \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) =  - 1\].