Hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = 2{x^2} - \ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right]$ là: $2{{\rm{e}}^2} - \ln 2 - \frac{3}{2}$

Câu hỏi trong đề: (Đúng sai) 24 bài tập GTLN, GTNN của hàm số (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hàm số $f\left( x \right) = 2{x^2} - \ln x$xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right]$.

$f'\left( x \right) = 4x - \frac{1}{x} = \frac{{4{x^2} - 1}}{x}.$

Xét $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2} \in \left( {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right)\\x = - \frac{1}{2} \notin \left( {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right)\end{array} \right..$

Ta có $f\left( {\frac{1}{{\rm{e}}}} \right) = \frac{2}{{{{\rm{e}}^2}}} + 1;{\rm{ }}f\left( {\rm{e}} \right) = 2{{\rm{e}}^2} - 1;{\rm{ }}f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} + \ln 2.$

Suy ra \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\rm{e}} \right) = 2{{\rm{e}}^2} - 1;{\rm{ }}\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right]} f\left( x \right) = \frac{1}{2} + \ln 2.\]

Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right]} f\left( x \right) = 2{{\rm{e}}^2} + \ln 2 - \frac{3}{2}.\] Chọn Đ

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7$ trên đoạn $[ - 4;0]$ bằng\[ - 7\]

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $f'(x) = 3{x^2} + 6x - 9$; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1{\rm{ (Loa\"i i)}}\\x = - 3{\rm{ (TM)}}\end{array} \right.$

$f( - 4) = 13;f(0) = - 7;f( - 3) = 20$

Vậy GTNN của hàm số $f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7$trên đoạn $[ - 4;0]$ là -7. Chọn Đ

Câu 2

Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = {x^3} + \frac{3}{x}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$. Vậy giá trị của $m = 4$

Xem đáp án

Lời giải

Hàm số xác định và liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Xét $y' = 3{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}} = \frac{{3{x^4} - 3}}{{{x^2}}}$;

$y' = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^4} - 3 = 0\\x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}y\left( 1 \right) = 4\\\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }} = + \infty \\\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \end{array} \right.$$ \Rightarrow m = \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 4$ tại $x = 1$. Chọn Đ

Câu 3