Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{1 + {{\sin }^4}x}}{{2 + {{\cos }^2}x}} + \frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{2 + {{\cos }^4}x}}\)bằng 2

Ta có\(f\left( x \right) = \frac{{1 + {{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}^2}}}{{2 + {{\cos }^2}x}} + \frac{{1 + 1 - {{\cos }^2}x}}{{2 + {{\cos }^4}x}} = \frac{{2 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x}}{{2 + {{\cos }^2}x}} + \frac{{2 - {{\cos }^2}x}}{{2 + {{\cos }^4}x}}\)

Đặt \({\cos ^2}x = t \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\). Khi đó ta có hàm số \(f(t) = \frac{{2 - 2t + {t^2}}}{{2 + t}} + \frac{{2 - t}}{{2 + {t^2}}}\)với \(t \in \left[ {0;1} \right]\).

Ycbt \( \Leftrightarrow \)Tìm \(\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = ?\)

Dễ thấy \(f(t)\)liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\). (1)

Ta có:

\(f'(t) = {\left( {\frac{{2 - 2t + {t^2}}}{{2 + t}} + \frac{{2 - t}}{{2 + {t^2}}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( { - 2 + 2t} \right)\left( {2 + t} \right) - \left( {2 - 2t + {t^2}} \right)}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}} + \frac{{ - \left( {2 + {t^2}} \right) - \left( {2 - t} \right)2t}}{{{{\left( {2 + {t^2}} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{{t^2} + 4t - 6}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}} + \frac{{{t^2} - 4t - 2}}{{{{\left( {2 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {t + 2} \right)}^2} - 10}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {t - 2} \right)}^2} - 6}}{{{{\left( {2 + {t^2}} \right)}^2}}}\)với \(t \in \left[ {0;1} \right]\).

Với\(t \in \left[ {0;1} \right]\)thì \(\frac{{{{\left( {t + 2} \right)}^2} - 10}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}} < 0\,\,;\,\,\frac{{{{\left( {t - 2} \right)}^2} - 6}}{{{{\left( {2 + {t^2}} \right)}^2}}} < 0\). Suy rA. \(f'(t) < 0,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)

Suy ra hàm số \(g(t)\)nghịch biến trên đoạn\(\left[ {0;1} \right]\). (2)

Từ (1) và (2) suy rA. \(\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 2\). Chọn Đ