Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn. Do các điều kiện về diện tích vườn, ông Nam cần bể có thể tích là $36 m^3$ , đáy bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và chiều rộng không quá $4 m$ , biết rằng chi phí vật liệu xây dựng mỗi mét vuông diện tích bề mặt là như nhau. Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu để tổng chi phí vật liệu là nhỏ nhất?

Trả lời:  cần xây bể có chiều cao là $2 \left(m\right)$ .

Một vật chuyển động theo quy luật \(s =  - 2{t^3} + 24{t^2} + 9t - 3\) với \(t\) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và \(s\) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Ông \(A\) dự định sử dụng hết \(6,7{\mkern 1mu} {m^2}\) kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y=x^3-12x+1$  trên đoạn [-1;3]
b) $y=-x^3+24x^2-180x+400$  trên đoạn [3;11]
c) $y=\frac{2x+1}{x-2}$  trên đoạn $[3;7]$
d) $y=\sin 2x$  trên đoạn $\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]$

Trả lời:  

a) $ma{x}_{\left[-1;3\right]}y=y\left(-1\right)=12$  và $mi{n}_{\left[-1;3\right]}y=y\left(2\right)=-15$
b)  $ma{x}_{\left[3;11\right]}y=y\left(3\right)=49$  và $mi{n}_{\left[3;11\right]}y=y\left(6\right)=-32$
c) $ma{x}_{\left[3;7\right]}y=y\left(3\right)=7$  và $mi{n}_{\left[3;7\right]}y=y\left(7\right)=3$
d) $ma{x}_{\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]}y=y\left(\frac{\pi }{4}\right)=1$  và $mi{n}_{\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]}y=y\left(\frac{7\pi }{12}\right)=-\frac{1}{2}$

Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí \(A\). Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là \(5\,m\) và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là \(12\,m\).

Tìm giá trị lôn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{x}$  trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ .

Trả lời: $mi{n}_{\left(0;+\infty \right)}f\left(x\right)=6$  tại $x=3$  và hàm số $f\left(x\right)$   không có giá trị lớn nhất.