Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí \(A\). Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là \(5\,m\) và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là \(12\,m\).

Trả lời: \(120{m^2}\).

Hình hộp chữ nhật không nắp lần lượt có chiều rộng, dài, cao là \[x,y,z\], biết \(y = 2x\)

Diện tích không nắp \(S = xy + 2xz + 2yz = 2{x^2} + 6xz = 6,7{\mkern 1mu} {m^2}\) và thể tích \[V = xyz = 2{x^2}z\]

\(S = 2{x^2} + 3xz + 3xz \ge 3\sqrt[3]{{18{x^4}{z^2}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{{9{V^2}}}{2}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{S}{3}} \right)^3} \ge \frac{{9{V^2}}}{2} \Leftrightarrow V \le \frac{1}{3}\sqrt {2{{\left( {\frac{S}{3}} \right)}^3}} \)

Suy ra: \(\max V = \frac{1}{3}\sqrt {2{{\left( {\frac{S}{3}} \right)}^3}}  \approx 1,57{m^3}\);

khi \(2{x^2} = 3xz \Leftrightarrow z = \frac{2}{3}x\)Û\(S = 2{x^2} + 6x\left( {\frac{2}{3}x} \right) = 6{x^2} = 6,7{m^2}\)Û \(x \approx 1.06\).

Ta có \(v = s' =  - 6{t^2} + 48t + 9\).

Theo đề, ta cần tìm vận tốc lớn nhất trong 10 giây đầu tiên nên bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số \(v\left( t \right) =  - 6{t^2} + 48t + 9\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,10} \right]\).

Khi đó \(v'\left( t \right) =  - 12t + 48\), \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 4 \in \left[ {0\,;\,10} \right]\).

Ta có \(v\left( 0 \right) = 9;\,\,v\left( 4 \right) = 105;\,\,v\left( {10} \right) =  - 111\). Suy ra \[{v_{m\,ax}} = 105\] \(\left( {m/s} \right)\).

Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong khoảng 10 giây đầu tiên là 105 \(\left( {m/s} \right)\).