Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí \(A\). Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là \(5\,m\) và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là \(12\,m\).

Trả lời: \(120{m^2}\).

a) Xét $y=x^3-12x+1$  trên đoạn [-1;3]

$y\text{'}=3x^2-12=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ x=-2\left(loai\right)\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $ma{x}_{\left[-1;3\right]}y=y\left(2\right)=-15$  và
b) Xét $y=-x^3\_24x^2-180x+400$  trên đoạn [3;11]

$y\text{'}=-3x^2+48x-180=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ x=6\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $ma{x}_{\left[3;11\right]}y=y\left(3\right)=49$  và $mi{n}_{\left[3;11\right]}y=y\left(6\right)=-32$
c) Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$  trên đoạn [3;7]

$y\text{'}=\frac{-5}{{\left(x-2\right)}^2}<0 \forall x\in \left[3;7\right]$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $ma{x}_{\left[3;7\right]}y=y\left(3\right)=7$  và $mi{n}_{\left[3;7\right]}y=y\left(7\right)=3$
d) Xét $y=\sin 2x$  trên đoạn $\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]$

$y\text{'}=2\cos s 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)$

Ta có: $x\in \left[0;\frac{7\pi }{12}\right]\Rightarrow k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}$
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $ma{x}_{\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]}y=\left(\frac{\pi }{4}\right)=1$  và $mi{n}_{\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]}=y\left(\frac{7\pi }{12}\right)=-\frac{1}{2}$

Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$  như Hình 1.8.

Gọi $x \left(m\right)$  là chiều rộng của bể, ta có $0<x\le 4$ .

Hình 1.8

Chiều dài của bể là $2x \left(m\right)$ .

Gọi $h \left(m\right)$  là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là $V=x.\left(2x\right).h.$ .

Suy ra $h=\frac{V}{2x^2}=\frac{36}{2x^2}=\frac{18}{x^2}\left(m\right)$ .

Tổng diện tích các mặt cần xây là:

$S=S_{ABCD}+2.S_{ABB\text{'}A\text{'}}+2.S_{BCC\text{'}B\text{'}}$

$=2x^2+2.x.\frac{18}{x^2}+2.2x.\frac{18}{x^2}=2x^2+\frac{108}{x}.$

Xét hàm số $S\left(x\right)=2x^2+\frac{108}{x}\left(0<x\le 4\right)$ , ta có:

$S\text{'}\left(x\right)=4x-\frac{108}{x^2}=\frac{4x^3-108}{x^2}=\frac{4\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}{x^2}$

$S\text{'}\left(x\right)=0\iff x=3$

Do $x^2>0$  và $x^2+3x+9>0$  khi  $x\in (0;4]$ nên dấu của $S\text{'}\left(x\right)$  trên $(0;4]$  phụ thuộc dấu của biểu thức $x-3$ .

Bảng biến thiên:

Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây $S\left(x\right)$  là nhỏ nhất. Dựa vào bảng biến thiên, ta có $S\left(x\right)$  đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=3$ , suy ra $h=2$ .

Vậy cần xây bể có chiều cao là $2 \left(m\right)$ .