Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}\) với \(m\) là tham số. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a) Với \(m =  - 1\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 2\).

b) Với \(m = 0\) đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(y = x - 1\).

c) Với \(m = 2\) thì đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\frac{9}{2}\).

d) Với \(m = 1\), tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị đến các đường tiệm cận bằng \(\frac{{3\sqrt 5 }}{5}\)

Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( x \right) \ge 1\).

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) - m + 2}}\) có hai đường tiệm cận ngang  có phương trình là \(y = \frac{5}{{7 - m}}\) và \(y = \frac{2}{{4 - m}}\).

Xét phương trình \(f\left( x \right) - m + 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = m - 2\,\,\left( * \right)\)

Để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt suy ra

\(\left[ \begin{array}{l}1 < m - 2 < 2\\m - 2 = 3\\m - 2 \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 < m < 4\\m = 5\\m \ge 7\end{array} \right.\).

Vì \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ {0\,;\,10} \right] \Rightarrow m \in \left\{ {5\,;\,7\,;\,8\,;\,9\,;\,10} \right\}\).

Đáp án: 5

Đáp án: \( - 9\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} + 4x + m \ne 0\end{array} \right.\).

Ta có:    là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có \(3\) đường tiệm cận \( \Leftrightarrow \) Đồ thị hàm số có \(2\) đường tiệm cận đứng \( \Leftrightarrow \) Phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;1} \right]\).

Ta có: \({x^2} + 4x + m = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x =  - m\).

Bảng biến thiên của hàm số \(y = g\left( x \right) = {x^2} + 4x\):

Phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;1} \right]\)  \( \Leftrightarrow  - 5 \le m < 4\).

\( \Rightarrow \)\(S = \left\{ { - 5\,;\, - 4\,;\, - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,} \right\}\).

Vậy tổng giá trị các phần tử của tập \(S\) bằng \( - 9\).