Cho hàm số trùng phương \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 2f\left( x \right) - 3}}\) .

        

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.               

a) Đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\)có tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \(6\).

  b) Đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) đúng một tiệm cận ngang .

c) Đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có \(3\) tiệm cận đứng.

d) Đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \(4\).

a) Đúng.                b) Đúng             c) Sai                     d) Sai

Ta có \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) là hàm số trùng phương nên bậc của mẫu là 8.         

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 2f\left( x \right) - 3}} = 0\) .

Do đó đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 1 tiệm cận ngang \(y = 0\).

Ta có \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2} + 2f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = 1}\\{f\left( x \right) =  - 3}\end{array}} \right.\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

TH1: \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\,(nghi\^e m\,k\'e p)}\\{x = {x_1}\left( {{x_1} <  - 2} \right)}\\{x = {x_2}\left( {{x_2} > 2} \right)}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \]\(f\left( x \right) - 1 = a{x^2}\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\).

TH2: \(f\left( x \right) =  - 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2(nghi\^e m\,k\'e p)}\\{x =  - 2(nghi\^e m\,k\'e p)}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \]\(f\left( x \right) + 3 = a{\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\).

\[\begin{array}{l} \Rightarrow g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 2f\left( x \right) - 3}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{a{x^2}\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)a{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{{a^2}x\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\end{array}\]

Suy ra đồ thị h/s g(x) có 5 TCĐ là: \[x = 0,\,x = {x_1},\,\,x = {x_2}\,x =  \pm 2\].

Dó đó tổng số tiệm cận ngang và đứng là 6.