Cho hàm số \(y = \frac{{2x + m}}{{mx - 3}}\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\), với \(m\) là tham số. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a) Với \(m = - 1\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 2\).

b) Với \(m = 3\) thì điểm \(A\left( {1;2} \right)\) thuộc tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

c) Với \(m = 1\) thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng \(9\).

d) Với \(m = 1\), tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị đến các đường tiệm cận bằng \(7\).

Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 16}}{x} = x + 4 + \frac{{16}}{x}\).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{16}}{x}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{16}}{x}} \right) = 0\]

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên: \(y = x + 4\).

Tọa độ giao điểm của đường tiệm cận xiên với hai trục tọa độ là : \(A\left( {0;\,4} \right),\,B\left( { - 4;\,0} \right)\).

Diện tích tam giác \(OAB\)là \(S = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}4.4 = 8\).

Gọi \(x\,\)là độ dài đáy nhỏ của hình thang \(\left( {x > 0} \right)\). Ta có :

Đáy lớn là \(2x\,\).

Chiều cao của hình thang là \(h = \frac{{2S}}{{x + 2x}}\, = \frac{{16}}{x}\).

Độ dài cạnh còn lại của hình thang là \[\sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{16}}{x}} \right)}^2}} \, = \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}} \].

Khi đó \[P\left( x \right) = x + \frac{{16}}{x} + 2x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  = 3x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + \frac{{16}}{x}\]  (tập xác định \(D = \left( {0;\, + \infty } \right)\)).

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {3x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + \frac{{16}}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left[ {3 + \sqrt {1 + \frac{{256}}{{{x^4}}}}  + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right] =  + \infty \) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x}\left[ {3{x^2} + \sqrt {{x^4} + 256}  + 16} \right] =  + \infty \) nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là trục \(Oy\)

+\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {P\left( x \right) - 4x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  - x + \frac{{16}}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{256}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + x}} + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right] = 0\).

Khi đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên \[y = 4x\].

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.