Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m + 1}}{{1 - x}}\) (1), với \(m\) là tham số. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a) Với \(m =  - 1\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua \(M\left( {2; - 3} \right)\).

b) Với \(m = 1\) thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích là \(\frac{1}{2}\).

c) Với \(m = 1\) thì tâm đối xứng của đồ thị là điểm \(I\left( {1; - 2} \right)\).

d) Với \(m = 1\)thì tiệm cận xiên, tiệm cận đứng cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình thang vuông có diện tích bằng \(3\).

a) Sai                b) Sai           c) Đúng                     d) Sai.

Ta có: \(y =  - x - m + \frac{{{m^2} - m + 1}}{{1 - x}}\)

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( { - x - m} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{m^2} - m + 1}}{{x - 1}} = 0\)  nên đường thẳng \(\left( d \right):y =  - x - m\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1).

a)    Với \(m =  - 1\) đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(\left( d \right):y =  - x + 1\), Thay \(x = 2\) vào \(\left( d \right)\) ta được \(y =  - 1\)nên điểm  \(M\left( {2; - 3} \right)\) không thuộc tiệm cận xiên .

b)    Tiệm cận xiên \(\left( d \right):y =  - x - m\) cắt hai trục tọa độ  tại hai điểm \(A\left( {0; - m} \right)\) và \(B\left( { - m;0} \right)\)

Diện tích tam giác \[OAB\]: \(S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {{y_A}} \right|.\left| {{x_B}} \right| = \frac{1}{2}{m^2}\).

Theo giả thiết ta có: \(S = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1\).

c)    Với \(m = 1\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(\left( d \right):y =  - x - 1\) và tiệm cận đứng \(x = 1\) cắt nhau tại điểm \(I\left( {1; - 2} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

d)    Với \(m = 1\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(\left( d \right):y =  - x - 1\) cắt hai trục tọa độ  tại hai điểm \(A\left( {0; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 1;0} \right)\), Tiệm cận xiên và tiệm cận đứng \(x = 1\) cắt nhau tại điểm \(I\left( {1; - 2} \right)\). Tiệm cận đứng cắt trục \(Ox\) tại \(C\left( {1;0} \right)\) Khi đó ta có hình thang vuông \(OAIC\) có diện tích là \(\frac{3}{2}\).