Câu hỏi:

30/09/2025 240 Lưu

Cho hàm số  có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{{x^4} - {x^2} + 2020}}{{{f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right)}}\] có đúng \[6\] đường tiệm cận. (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{{x^4} - {x^2} + 2020}}{{{f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right)}}\] có đúng \[6\] đường tiệm cận.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đáp án: 1

Điều kiện : \[{f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right) \ne 0\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ne 5\\f\left( x \right) \ne 2m - 3\end{array} \right.\]

+) Tiệm cận ngang:

Vì  là đa thức bậc \[3\] nên \[{f^2}\left( x \right)\] là đa thức bậc \[6\], do đó

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{{x^4} - {x^2} + 2020}}{{{f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right)}} = 0\]\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[y = 0\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[g\left( x \right)\].

+) Tiệm cận đứng:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{{x^4} - {x^2} + 2020}}{{{f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right)}}\] có đúng \[6\] đường tiệm cận. (ảnh 2)

Ta có: \[{x^4} - {x^2} + 2020 > 0{\rm{ ,}}\forall x \in \mathbb{R}\].

\[{f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 5\\f\left( x \right) = 2m - 3\end{array} \right.\].

Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình \[f\left( x \right) = 5\] có \[2\] nghiệm. Suy ra, đồ thị có \[2\] tiệm cận đứng.

Do đó:

Đồ thị hàm số có đúng \[6\] tiệm cận.

\[ \Leftrightarrow \]\[f\left( x \right) = 2m - 3\] có \[3\] nghiệm phân biệt .

\[ \Leftrightarrow 1 < 2m - 3 < 5 \Leftrightarrow 2 < m < 4\].

\[ \Rightarrow m = 3\] (vì \[m\]là số nguyên).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

A. \(8\).                       
B. \(16\).
C. \(4\).                           
D. \(12\).

Lời giải

Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 16}}{x} = x + 4 + \frac{{16}}{x}\).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{16}}{x}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{16}}{x}} \right) = 0\]

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên: \(y = x + 4\).

Tọa độ giao điểm của đường tiệm cận xiên với hai trục tọa độ là : \(A\left( {0;\,4} \right),\,B\left( { - 4;\,0} \right)\).

Diện tích tam giác \(OAB\)là \(S = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}4.4 = 8\).

Lời giải

Gọi \(x\,\)là độ dài đáy nhỏ của hình thang \(\left( {x > 0} \right)\). Ta có :

Đáy lớn là \(2x\,\).

Chiều cao của hình thang là \(h = \frac{{2S}}{{x + 2x}}\, = \frac{{16}}{x}\).

Độ dài cạnh còn lại của hình thang là \[\sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{16}}{x}} \right)}^2}} \, = \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}} \].

Khi đó \[P\left( x \right) = x + \frac{{16}}{x} + 2x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  = 3x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + \frac{{16}}{x}\]  (tập xác định \(D = \left( {0;\, + \infty } \right)\)).

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {3x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + \frac{{16}}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left[ {3 + \sqrt {1 + \frac{{256}}{{{x^4}}}}  + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right] =  + \infty \) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x}\left[ {3{x^2} + \sqrt {{x^4} + 256}  + 16} \right] =  + \infty \) nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là trục \(Oy\)

+\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {P\left( x \right) - 4x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  - x + \frac{{16}}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{256}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + x}} + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right] = 0\).

Khi đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên \[y = 4x\].

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Câu 5

A. \(y = \frac{x}{{1 + \sqrt x }}\).                  
B. \(y = {x^3} - 3x\).                          
C. \(y = {\log _2}x\).  
D. \(y = x + \sqrt {{x^2} + 4} \).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP