Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong \(t\) giờ được cho bởi công thức \[c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}\] \(\left( {{\rm{mg}}/L} \right)\). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Đáp án: 1005

Xét hàm số \[N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}},\,\left( {t > 0} \right)\]

\[N'\left( t \right) = \frac{{100\left( {100 + {t^2}} \right) - 2t.100t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{100\left( {100 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}\]

\[N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 100 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\,\,\left( N \right)\\t =  - 10\,\left( L \right)\end{array} \right.\].

Ta có bảng biến thiên

Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất nuôi cấy được là 1005 con.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\). Suy ra loại B và                               D.

Ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;2} \right)\) nên loại                      C.

Vậy bảng biến thiên đề bài cho là của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\).