Trong phòng thí nghiệm người ta xác định được số lượng vi khuẩn được nuôi cấy tính theo công thức \[N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\] (con vi khuẩn). Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi nuôi cấy.

Ta có:

\[\begin{array}{l}y =  - {x^3} - m{x^2} + \left( {4m + 9} \right)x + 5\\y' =  - 3{x^2} - 2mx + \left( {4m + 9} \right)\end{array}\]

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) khi \(y' \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1 < 0\\\Delta ' = {m^2} + 12m + 27 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 9 \le m \le  - 3\end{array}\).

Vì \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3} \right\}\).

Vậy có \(7\) giá trị.

 a) Đúng.

Thể tích khối hộp hình chữ nhật: \(V = xyh = 0,6xy = 0,096 \Rightarrow y = \frac{{0,16}}{x}\)

Vậy \(y = \frac{{0,16}}{x}\)

b) Sai.

Diện tích đáy bể là \({S_{\rm{d}}} = xy = 0,16\,{{\rm{m}}^2}\).

Chi phí mua kính để làm đáy bể là \({C_{\rm{d}}} = 10000.{S_{\rm{d}}} = 16000\) đồng

c) Đúng.

Diện tích các mặt xung quanh: \({S_{{\rm{xq}}}} = 2\left( {0,6x + 0,6y} \right) = 1,2.\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\)

Biểu thức tính chi phí làm các mặt xung quanh là \({C_{{\rm{xq}}}} = 84000.\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\).

d) Sai.

Chi phí làm bể cá: \(C\left( x \right) = {C_{{\rm{xq}}}} + {C_{\rm{d}}} = 84000.\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) + 16000,\,x > 0\)

Chi phí làm bể cá thấp nhất khi và chỉ khi \(\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{{0,16}}{x} = \frac{{{x^2} + 0,16}}{x},\,x > 0\)

  Bảng biến thiên:

 Suy ra: \(\mathop {{\rm{M}}{\mathop{\rm in}\nolimits} f\left( x \right)}\limits_{x \in \left( {0\,;\, + \infty } \right)}  = f\left( {\frac{2}{5}} \right) = \frac{4}{5}\)

Vậy chi phí thấp nhất để làm bể cá là: \(C = \frac{{84000.4}}{5} + 16000 = 83200\) đồng.