Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt x + 1}}{{3x - 9\sqrt x + 6}}\) là

Đáp án A.

Tập xác định: \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ {1;4} \right\}\) (kiểm tra lại tập xác định).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt x  + 1}}{{3x - 9\sqrt x  + 6}} = 0.\)

Nên hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là \(y = 0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x  + 1}}{{3x - 9\sqrt x  + 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x  + 1}}{{3\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt x  + 1}}{{3x - 9\sqrt x  + 6}} =  - \infty \).

Suy ra đường thẳng \(x = 1\) là 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\sqrt x  + 1}}{{3\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} =  + \infty \), \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{\sqrt x  + 1}}{{3x - 9\sqrt x  + 6}} =  - \infty .\]

Suy ra đường thẳng \(x = 4\) là 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hàm số không có tiệm cận xiên.

Vậy tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3.