Biết tích các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2x - 4}}{{{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} + 1}}\) có đúng 2 đường tiệm cận là \(\frac{a}{b}\), \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(P = {a^2} + {b^2}\).

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} + 1\).

Dễ thấy đồ thị không có tiệm cận xiên.

Đồ thị có 1 tiệm cận ngang là \(y = 0\) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 4}}{{{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} + 1}} = 0\).

Do đó, để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì hàm số chỉ có đúng 1 đường tiệm cận đứng.

Khi đó, \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm \(x = 2\) hoặc \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\\\Delta ' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} - {m^2} - 1 > 0\\4 + 2\left( {m - 2} \right).2 + {m^2} + 1 = 0\end{array} \right.\\{\left( {m - 2} \right)^2} - {m^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 4m + 3 > 0\\{m^2} + 4m - 3 = 0\end{array} \right.\\ - 4m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{4}\\m =  - 2 \pm \sqrt 7 \end{array} \right.\\m = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2 \pm \sqrt 7 \\m = \frac{3}{4}\end{array} \right..\)

Vậy tích tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) là: \(P = \left( { - 2 + \sqrt 7 } \right).\left( { - 2 - \sqrt 7 } \right).\frac{3}{4} =  - 3.\frac{3}{4} = \frac{{ - 9}}{4}.\)

Do đó \(a =  - 9,b = 4\)nên \(P = {a^2} + {b^2} = 81 + 4 = 85.\)