Cho biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}\] và \[B = \frac{3}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 5}}{{x - 1}}\] với \(x \ge 0,x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 4\].

2) Chứng minh \[B = \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\].

3) Tìm các giá trị của \(x\) để \(P = 2AB + \sqrt x \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + \frac{3}{{y - 1}} = 5\\4x - \frac{1}{{y - 1}} = 3\end{array} \right.\].

Điều kiện xác định:\(y \ne 1\)

Đặt \(\frac{1}{{y - 1}} = b\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3b = 5\\4x - b = 3\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình:

 \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3b = 5\\4x - b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6b = 10\\4x - b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - b = 3\\7b = 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = b + 3\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\b = 1\end{array} \right.\)

Với \(b = 1 \Rightarrow \frac{1}{{y - 1}} = 1 \Rightarrow y = 2\) (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right).\)

Chứng minh tứ giác \[BHEK\] nội tiếp.

Ta có  \(H,K\) là chân đường vuông góc từ \(E\) xuống \(AB\) \(BC\) nên \(\widehat {BHE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BKE} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BHE} + \widehat {BKE} = 180^\circ \)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác \(BHEK\).

Vậy tứ giác \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh \[BH.BA = BK.BC\]

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta AEB\) vuông tại \(E\), đường cao \(EH\) có: \(BH.BA = B{E^2}\).

Chứng minh tương tự ta có: \(BK.BC = B{E^2}\).

Vậy \(BH.BA = BK.BC\).

Chứng minh \[H,I,K\] thẳng hàng.

Vì \(CF \bot AB\) tại \(F\) nên \(\widehat {BFC} = 90^\circ \)

Vì \(BE \bot AC\) tại \(E\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(BCEF\) có \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC}\) (cùng bằng \(90^\circ \)), mà hai góc này cùng nhìn cạnh \(BC\)

Do đó tứ giác \(BCEF\) nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {BCE} = \widehat {HFE}\) (cùng phụ với \(\widehat {BFE}\))     \(\left( 1 \right)\)

Vì \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {BHK} = \widehat {BEK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BK\)).                                     \[\left( 2 \right)\]

Xét \(\Delta HEF\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(EF\) nên \(IH = IF = IE = \frac{1}{2}EF\).

Suy ra tam giác \(FHI\) cân tại \(I\), do đó \(\widehat {HFE} = \widehat {FHI}\) \[\left( 3 \right)\]

Mặt khác \(\widehat {BEK} = \widehat {BCE}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {EBC}\)) \[\left( 4 \right)\]

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra \(\widehat {BHK} = \widehat {FHI}\).

Do tam giác \(ABC\) nhọn, hai điểm \(I,K\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(HF\) nên  là ba điểm thẳng hàng.