Giải phương trình: \(\sqrt x  + \sqrt {3x - 2}  = {x^2} + 1\).

Một quả bóng bàn có dạng một hình cầu có bán kính bằng \(2\,\,{\rm{cm}}\). Tính diện tích bề mặt của quả bóng bàn đó (lấy \(\pi  \approx 3,14\)).

Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], xét đường thẳng \[\left( d \right):y = mx + 4\] với \[m \ne 0\].

a) Gọi \[A\] là giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] với trục \[Oy\]. Tìm tọa độ của điểm \[A.\]

b) Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt trục \[Ox\] tại điểm \[B\] sao cho \[OAB\] là tam giác cân.

Cho biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}\] và \[B = \frac{3}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 5}}{{x - 1}}\] với \(x \ge 0,x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 4\].

2) Chứng minh \[B = \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\].

3) Tìm các giá trị của \(x\) để \(P = 2AB + \sqrt x \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn và đường cao \[BE\]. Gọi \[H\] và \[K\] lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \[E\] đến các đường thẳng \[AB\] và \[BC\].

1) Chứng minh tứ giác \[BHEK\] nội tiếp.

2) Chứng minh \[BH.BA = BK.BC\].

3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \[C\] đến đường thẳng \[AB\] và \[I\] là trung điểm của \[EF\]. Chứng minh \[H,I,K\] thẳng hàng.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Quãng đường từ nhà An đến nhà Bình dài \(3\,\,{\rm{km}}\). Buổi sáng, An đi bộ từ nhà An đến nhà Bình. Buổi chiều cùng ngày, An đi xe đạp từ nhà Bình về nhà An trên cùng quãng đường đó với vận tốc lớn hơn vận tốc đi bộ của An là \[9{\rm{ km/h}}\]. Tính vận tốc đi bộ của An, biết thời gian đi buổi chiều ít hơn thời gian đi buổi sáng là 45 phút. (Giả định rằng An đi bộ với vận tốc không đổi trên toàn bộ quãng đường đó.)

Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + \frac{3}{{y - 1}} = 5\\4x - \frac{1}{{y - 1}} = 3\end{array} \right.\].