Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2020 -2021 Sở GD&ĐT Hà Nội có đáp án

Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 4\].

Thay \(x = 4\)(thỏa mãn đkxđ) vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \frac{{\sqrt 4  + 1}}{{\sqrt 4  + 2}} = \frac{{2 + 1}}{{2 + 2}} = \frac{3}{4}\).

Chứng minh \[B = \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\].

\[B = \frac{3}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\].

Tìm các giá trị của \(x\) để \(P = 2AB + \sqrt x \) đạt giá trị nhỏ nhất.

\(P = 2AB + \sqrt x  = 2.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}.\frac{2}{{\sqrt x  + 1}} + \sqrt x  = \frac{4}{{\sqrt x  + 2}} + \sqrt x \).

Ta có: \(P - 2 = \frac{4}{{\sqrt x  + 2}} + \sqrt x  - 2 = \frac{x}{{\sqrt x  + 2}} \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\).

Suy ra \(P \ge 2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\).

Kết luận: \(x = 0\) thì biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + \frac{3}{{y - 1}} = 5\\4x - \frac{1}{{y - 1}} = 3\end{array} \right.\].

Điều kiện xác định:\(y \ne 1\)

Đặt \(\frac{1}{{y - 1}} = b\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3b = 5\\4x - b = 3\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình:

 \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3b = 5\\4x - b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6b = 10\\4x - b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - b = 3\\7b = 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = b + 3\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\b = 1\end{array} \right.\)

Với \(b = 1 \Rightarrow \frac{1}{{y - 1}} = 1 \Rightarrow y = 2\) (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right).\)