Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Quãng đường từ nhà An đến nhà Bình dài \(3\,\,{\rm{km}}\). Buổi sáng, An đi bộ từ nhà An đến nhà Bình. Buổi chiều cùng ngày, An đi xe đạp từ nhà Bình về nhà An trên cùng quãng đường đó với vận tốc lớn hơn vận tốc đi bộ của An là \[9{\rm{ km/h}}\]. Tính vận tốc đi bộ của An, biết thời gian đi buổi chiều ít hơn thời gian đi buổi sáng là 45 phút. (Giả định rằng An đi bộ với vận tốc không đổi trên toàn bộ quãng đường đó.)

Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + \frac{3}{{y - 1}} = 5\\4x - \frac{1}{{y - 1}} = 3\end{array} \right.\].

Điều kiện xác định:\(y \ne 1\)

Đặt \(\frac{1}{{y - 1}} = b\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3b = 5\\4x - b = 3\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình:

 \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3b = 5\\4x - b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6b = 10\\4x - b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - b = 3\\7b = 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = b + 3\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\b = 1\end{array} \right.\)

Với \(b = 1 \Rightarrow \frac{1}{{y - 1}} = 1 \Rightarrow y = 2\) (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right).\)

Chứng minh tứ giác \[BHEK\] nội tiếp.

Ta có  \(H,K\) là chân đường vuông góc từ \(E\) xuống \(AB\) \(BC\) nên \(\widehat {BHE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BKE} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BHE} + \widehat {BKE} = 180^\circ \)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác \(BHEK\).

Vậy tứ giác \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh \[BH.BA = BK.BC\]

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta AEB\) vuông tại \(E\), đường cao \(EH\) có: \(BH.BA = B{E^2}\).

Chứng minh tương tự ta có: \(BK.BC = B{E^2}\).

Vậy \(BH.BA = BK.BC\).

Chứng minh \[H,I,K\] thẳng hàng.

Vì \(CF \bot AB\) tại \(F\) nên \(\widehat {BFC} = 90^\circ \)

Vì \(BE \bot AC\) tại \(E\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(BCEF\) có \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC}\) (cùng bằng \(90^\circ \)), mà hai góc này cùng nhìn cạnh \(BC\)

Do đó tứ giác \(BCEF\) nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {BCE} = \widehat {HFE}\) (cùng phụ với \(\widehat {BFE}\))     \(\left( 1 \right)\)

Vì \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {BHK} = \widehat {BEK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BK\)).                                     \[\left( 2 \right)\]

Xét \(\Delta HEF\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(EF\) nên \(IH = IF = IE = \frac{1}{2}EF\).

Suy ra tam giác \(FHI\) cân tại \(I\), do đó \(\widehat {HFE} = \widehat {FHI}\) \[\left( 3 \right)\]

Mặt khác \(\widehat {BEK} = \widehat {BCE}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {EBC}\)) \[\left( 4 \right)\]

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra \(\widehat {BHK} = \widehat {FHI}\).

Do tam giác \(ABC\) nhọn, hai điểm \(I,K\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(HF\) nên  là ba điểm thẳng hàng.