Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:3x - 4y + 9 = 0\).

a) \(d\left( {O,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{9}{5}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\left( {3; - 4} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Lại có \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 4 \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 4} \right) = 0\). Do đó \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).

c) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3x - 4y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3\left( {1 + 3t} \right) - 4\left( {3 - 4t} \right) + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\\t = 0\end{array} \right.\).

Suy ra \(M\left( {1;3} \right)\).

Giả sử \(I\left( {a;b} \right)\).

Theo đề ta có \(IO = IA = IM\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 1\\6b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

d) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 4} \right)\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.