Biết rằng hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4\end{array}\right.$có nghiệm duy nhất (x; y). Tính $\frac{x}{y}$

Từ phương trình (2) ta có y = 3m – 1 – mx. Thay vào phương trình (1) ta được:

$x+m(3m–1–mx)=m+1 (m^2–1)x=3m^2–2m–1$    (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất, tức là

$m^2–1\ne 0\iff m\ne \pm 1$

Khi đó$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3m^2-2m-1}{m^2-1}=\frac{\left(m-1\right)\left(3m+1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\frac{3m+1}{m+1}\\ y=3m-1-m.\frac{3m+1}{m+1}=\frac{m-1}{m+1}\end{array}\right.$

Hay$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3m+1}{m+1}=3-\frac{2}{m+1}\\ y=\frac{m-1}{m+1}=1-\frac{2}{m+1}\end{array}\right.$

Vậy x, y nguyên khi và chỉ khi $\frac{2}{m+1}$nguyên.

Do đó m + 1 chỉ có thể là −2; −1; 1; 2. Vậy m $\in${−3; −2; 0} hoặc m = 1 (loại)

Đáp án:C

Từ phương trình (1) ta có x = 2y + 5. Thay x = 2y + 5 vào phương trình (2) ta được: m(2y + 5) – y = 4$\iff$(2m – 1).y = 4 – 5m        (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với 2m – 1 ≠ 0$\iff$m ≠ $\frac{1}{2}$

Từ đó ta được: $y=\frac{4-5m}{2m-1}$và $x=5+2y=\frac{3}{2m-1}$  . Ta có:

$x.y=\frac{3\left(4-5m\right)}{{\left(2m-1\right)}^2}$  . Do đó x. y < 0  4 – 5m < 0$\iff m>\frac{4}{5}$(thỏa mãn điều kiện)

Đáp án:A