Câu hỏi:

29/12/2020 728

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 60^{0}$ , nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC lấy một điểm D, trên dây BD lấy điểm M sao cho DM = CD.
a) Chứng minh tam giác MCD là tam giác đều.
b) Tìm quỹ tích điểm M khi điểm D di động trên cung nhỏ AC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập chương 3 hình học 9 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì $\hat{BAC} = 60^{0}$ nên $\hat{BDC} = 60^{0}$

Do đó tam giác MDC đều (vì DM = DC)

b) Tìm quỹ tích điểm M:

- Phần thuận:

Vì tam giác MDC đều nên $\hat{BMC} = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0}$ , do đó điểm M chạy trên cung chứa góc $120^{0}$ dựng trên đoạn BC.

- Giới hạn:

Gọi E là giao điểm của AB và cung chứa góc $120^{0}$ dựng trên đoạn BC.

+ nếu $D \equiv A \Rightarrow M \equiv E$

+ nếu $D \equiv C \Rightarrow M \equiv C$

Vậy điểm M chỉ nằm trên cung nhỏ $\overset{⏜}{CE}$ của cung chứa góc dựng trên đoạn BC.

- Phần đảo:

Lấy điểm M trên cung nhỏ $\overset{⏜}{EC}$ của cung chứa góc $120^{0}$ dựng trên đoạn BC. Nối BM cắt (O) tại D.

Ta có $\hat{BMC} = 120^{0}$ (góc nội tiếp) nên $\hat{CMD} = 180^{0} - 120^{0} = 60^{0}$

Mà $\hat{BDC} = 60^{0}$ nên tam giác MCD đều, do đó DC = DM.

Kết luận: quỹ tích điểm M nằm trên cung nhỏ $\overset{⏜}{CE}$ của cung chứa góc $120^{0}$ dựng trên đoạn BC.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Chứng minh rằng bốn điiểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

Lời giải

Xét hai tam giác $∆ ACD$ và $∆ BDC$ , ta có:

CD chung

$\hat{ADC} = \hat{BCD}$ , vì ABCD là hình thang cân.

AD = BC, vì ABCD là hình thang cân.

Do đó:

$∆ ACD = ∆ BDC (c . g . c)$ => $\hat{CAD} = \hat{CBD}$

Vậy các điểm A, B nằm cùng phía đối với CD và thỏa mãn nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Câu 2

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích điểm M khi E di động trên cạnh BC.

Xem đáp án

Lời giải

- Phần thuận:

Xét hai tam giác vuông $∆ BFC, ∆ DCE$ có

BC = CD (do ABCD là hình vuông)

CE = CF (gt) nên $∆ BFC = ∆ DCE$

Do đó, $\hat{CBF} = \hat{CDE}$

Mà $\hat{BEM} = \hat{CED}$ (đối đỉnh) nên

$90^{0} = \hat{CDE} + \hat{CED} = \hat{CBF} + \hat{BEM} \Rightarrow \hat{BMD} = 90^{0}$

Vậy điểm M nằm trên đường tròn đường kính BD.

- Giới hạn:

+ Nếu $E \equiv B \Rightarrow M \equiv B$

+ Nếu $E \equiv C \Rightarrow M \equiv C$

Vậy điểm M chỉ nằm trên cung nhỏ $\overset{⏜}{BC}$ của đường tròn đường kính BD.

- Phần đảo:

Lấy điểm M trên cung nhỏ $\overset{⏜}{BC}$ của đường tròn đường kính BD. Nối MB, MD lần lượt cắt CD, BC tại F, E

Ta có $\hat{BMD} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $∆ BFC = ∆ DCE (g . c . g)$ do đó CF = CE.

- Kết luận: quỹ tích điểm M nằm trên cung nhỏ $\overset{⏜}{BC}$ của đường tròn đường kính BD.

Câu 3