Câu hỏi:

29/12/2020 1,020

Cho cung một phần tư đường tròn với hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Trên cung này lấy một điểm C tùy ý không trùng với A và B. Vẽ CH vuông góc với OA. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác HOC.
a) Chứng minh rằng $∆ AIO = ∆ CIO$
b) Tìm quỹ tích điểm I khi điểm C di động trên cung AB.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập chương 3 hình học 9 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét hai tam giác AIO và CIO có:

OA = OC

OI chung

$\hat{AIO} = \hat{CIO}$

Nên $∆ AIO = ∆ CIO (c . g . c)$

b) Tìm quỹ tích điểm I khi C di động trên cung AB.

- Phần thuận:

Ta có:

$\hat{AIO} = \hat{CIO} = 180^{0} - (\hat{IOC} + \hat{ICO}) = 180^{0} - \frac{1}{2} (\hat{HOC} + \hat{HCO}) = 180^{0} - 45^{0} = 135^{0}$

Vì A, O cố định nên quỹ tích điểm I nằm trên cung $135^{0}$ dựng trên đoạn AO.

- Giới hạn:

Vì C chỉ chạy trên cung $\overset{⏜}{AB}$ nên điểm I chỉ chạy trên cung chứa góc $135^{0}$ dựng trên đoạn AO thuộc nửa mặt phẳng bờ AO có chứa điểm B.

- Phần đảo:

Lấy điểm I trên cung chứa góc $135^{0}$ dựng trên đoạn AO. Dựng OC sao cho OI là tia phân giác góc $\hat{AOC}$ (C nằm trên cung), từ C hạ $CH ⊥ OA$

Vì $\hat{AIO} = \hat{CIO} = 135^{0}$ nên $\hat{CIA} = 360^{0} - 2 . 135^{0} = 90^{0}$ , do vậy C, I, H, A cùng nằm trên cùng một đường tròn.

Từ đó suy ra $\hat{ICH} = \hat{IAH} = \hat{ICO}$ => IC là tia phân giác góc $\hat{OCH}$ , vì vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác COH.

- Kết luận: quỹ tích điểm I là cung chứa góc $135^{0}$ dựng trên đoạn AO thuộc nửa mặt phẳng bờ AO có chứa điểm B.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Chứng minh rằng bốn điiểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

Lời giải

Xét hai tam giác $∆ ACD$ và $∆ BDC$ , ta có:

CD chung

$\hat{ADC} = \hat{BCD}$ , vì ABCD là hình thang cân.

AD = BC, vì ABCD là hình thang cân.

Do đó:

$∆ ACD = ∆ BDC (c . g . c)$ => $\hat{CAD} = \hat{CBD}$

Vậy các điểm A, B nằm cùng phía đối với CD và thỏa mãn nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Câu 2

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích điểm M khi E di động trên cạnh BC.

Xem đáp án

Lời giải

- Phần thuận:

Xét hai tam giác vuông $∆ BFC, ∆ DCE$ có

BC = CD (do ABCD là hình vuông)

CE = CF (gt) nên $∆ BFC = ∆ DCE$

Do đó, $\hat{CBF} = \hat{CDE}$

Mà $\hat{BEM} = \hat{CED}$ (đối đỉnh) nên

$90^{0} = \hat{CDE} + \hat{CED} = \hat{CBF} + \hat{BEM} \Rightarrow \hat{BMD} = 90^{0}$

Vậy điểm M nằm trên đường tròn đường kính BD.

- Giới hạn:

+ Nếu $E \equiv B \Rightarrow M \equiv B$

+ Nếu $E \equiv C \Rightarrow M \equiv C$

Vậy điểm M chỉ nằm trên cung nhỏ $\overset{⏜}{BC}$ của đường tròn đường kính BD.

- Phần đảo:

Lấy điểm M trên cung nhỏ $\overset{⏜}{BC}$ của đường tròn đường kính BD. Nối MB, MD lần lượt cắt CD, BC tại F, E

Ta có $\hat{BMD} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $∆ BFC = ∆ DCE (g . c . g)$ do đó CF = CE.

- Kết luận: quỹ tích điểm M nằm trên cung nhỏ $\overset{⏜}{BC}$ của đường tròn đường kính BD.

Câu 3