Tính limx→+∞x+1x+2...x+nn−x bằng A. 0 B. n+12 C. n D. 1

Đặt x=1y khi x→+∞:y→0limx→+∞x+1x+2...x+nn−x=limx→01y+11y+2...1y+nn−1y=limx→0(1+y)(1+2y)...(1+ny)n−1y* (1+y)(1+2y)...(1+ny)n−1=1+yn−1+yn+(1+y)(1+2y)n−(1+y)(1+2y)+...n−(1+y)(1+2y)...(1+(n−1)y)n+(1+y)(1+2y)...(1+ny)n−1=1+yn−1+1+yn1+2yn−1+...+(1+y)(1+2y)...(1+(n−1)y)n1+nyn−1⇒limy→0(1+y)(1+2y)...(1+ny)n−1y=limy→01+yn−1y+limy→01+yn1+2yn−1y+...+limy→0(1+y)(1+2y)...(1+(n−1)y)n.1+nyn−1yTổng quátlimy→0(1+y)(1+2y)...(1+(k−1)yn.1+kyn−1y=limy→0(1+y)(1+2y)...(1+(k−1)yn.1+kyn−11+kynn−1+1+kynn−2+...+1y1+kynn−1+1+kynn−2+...+1=limy→0(1+ky−1).(1+y)(1+2y)...(1+(k−1)y)n1+kynn−1+1+kynn−2+...+1=knKhi đólimy→0(1+y)(1+2y)...(1+ny)n−1y=1n+2n+3n+...+nn=1+2+3+...+nn=n(n+1)2n=n+12Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi:

21/03/2021 452

Tính $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + 1) (x + 2) ... (x + n)} - x)$ bằng

A. 0

B. $\frac{n + 1}{2}$

Đáp án chính xác

C. n

D. 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10 câu Trắc nghiệm Giới hạn của hàm số có đáp án (Vận dụng) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $x = \frac{1}{y}$ khi $x \to + \infty : y \to 0$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + 1) (x + 2) ... (x + n)} - x) \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt[n]{(\frac{1}{y} + 1) (\frac{1}{y} + 2) ... (\frac{1}{y} + n)} - \frac{1}{y}) \\ = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1}{y} \end{array}$

$\begin{array}{l} * \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1 \\ = \sqrt[n]{1 + y} - \sqrt[n]{1 + y} + \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y)} - \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) + ...} \\ - \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (n - 1) y)} + \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1 \\ = (\sqrt[n]{1 + y} - 1) + \sqrt[n]{1 + y} (\sqrt[n]{1 + 2 y} - 1) + ... + \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (n - 1) y)} (\sqrt[n]{1 + n y} - 1) \\ \Rightarrow \lim_{y \to 0} \frac{\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1}{y} \\ = \lim_{y \to 0} [\frac{(\sqrt[n]{1 + y} - 1)}{y}] + \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{1 + y} \frac{(\sqrt[n]{1 + 2 y} - 1)}{y}] + ... \\ + \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (n - 1) y)} . \frac{(\sqrt[n]{1 + n y} - 1)}{y}] \end{array}$

Tổng quát

$\begin{array}{l} \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (k - 1) y} . \frac{\sqrt[n]{1 + k y} - 1}{y}] \\ = \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (k - 1) y} . \frac{(\sqrt[n]{1 + k y} - 1) [{(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 1} + {(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 2} + ... + 1]}{y [{(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 1} + {(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 2} + ... + 1]}] \\ = \lim_{y \to 0} \frac{(1 + k y - 1) . \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (k - 1) y)}}{{(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 1} + {(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 2} + ... + 1} = \frac{k}{n} \end{array}$

Khi đó

$\begin{array}{l} \lim_{y \to 0} \frac{\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1}{y} = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + ... + \frac{n}{n} \\ = \frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{n} = \frac{\frac{n (n + 1)}{2}}{n} = \frac{n + 1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Biết rằng $\lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x^{3} + 3 \sqrt{3})}{3 - x^{2}} = a \sqrt{3} + b$ . Tính $a^{2} + b^{2}$

A. 9

B. 25

C. 5

D. 13

Xem đáp án » 21/03/2021 11,207

Câu 2:

Biết rằng $a + b = 4; \lim_{x \to 1} (\frac{a}{1 - x} - \frac{b}{1 - x^{3}})$ hữu hạn. Tính giới hạn $L = \lim_{x \to 1} (\frac{b}{1 - x^{3}} - \frac{a}{1 - x})$

A. -1

B. 2

C. 1

D. -2

Xem đáp án » 21/03/2021 8,144

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị của a để $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} + 1} + a x)$ là

A. $a > \sqrt{2}$

B. $a < \sqrt{2}$

C. a > 2

D. a < 2

Xem đáp án » 21/03/2021 6,340

Câu 4:

Tính $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1)$ bằng

A. -1

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Xem đáp án » 21/03/2021 2,433

Câu 5:

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ là

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{13}{12}$

C. $\frac{11}{12}$

D. $- \frac{13}{12}$

Xem đáp án » 21/03/2021 2,170

Câu 6:

Tính $\lim_{x \to - \infty} x \sqrt{\frac{3 x + 2}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}$

A. $- \sqrt{\frac{3}{2}}$

B. $\sqrt{\frac{3}{2}}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $- \frac{3}{2}$

Xem đáp án » 21/03/2021 1,790

Câu 7:

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}$

A. $\frac{23}{2}$

B. 24

C. $\frac{3}{2}$

D. 3

Xem đáp án » 21/03/2021 775

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tính $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + 1) (x + 2) ... (x + n)} - x)$ bằng

Nhà sách VIETJACK:

Biết rằng $\lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x^{3} + 3 \sqrt{3})}{3 - x^{2}} = a \sqrt{3} + b$ . Tính $a^{2} + b^{2}$

Biết rằng $a + b = 4; \lim_{x \to 1} (\frac{a}{1 - x} - \frac{b}{1 - x^{3}})$ hữu hạn. Tính giới hạn $L = \lim_{x \to 1} (\frac{b}{1 - x^{3}} - \frac{a}{1 - x})$

Tìm tất cả các giá trị của a để $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} + 1} + a x)$ là

Tính $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1)$ bằng

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ là

Tính $\lim_{x \to - \infty} x \sqrt{\frac{3 x + 2}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}$

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}$

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Tính limx→+∞x+1x+2...x+nn−x bằng

Nhà sách VIETJACK:

Biết rằng limx→−32(x3+33)3−x2=a3+b. Tính a2+b2

Biết rằng a+b=4;limx→1a1−x−b1−x3 hữu hạn. Tính giới hạn L=limx→1b1−x3−a1−x

Tìm tất cả các giá trị của a để limx→−∞2x2+1+ax là

Tính limx→−∞x2+1+x−1 bằng

Giá trị của giới hạn limx→021+x−8−x3x là

Tính limx→−∞x3x+22x3+x2−1

Tính limx→01+2x.1+3x3.1+4x4−1x

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + 1) (x + 2) ... (x + n)} - x)$ bằng

Biết rằng $\lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x^{3} + 3 \sqrt{3})}{3 - x^{2}} = a \sqrt{3} + b$ . Tính $a^{2} + b^{2}$

Biết rằng $a + b = 4; \lim_{x \to 1} (\frac{a}{1 - x} - \frac{b}{1 - x^{3}})$ hữu hạn. Tính giới hạn $L = \lim_{x \to 1} (\frac{b}{1 - x^{3}} - \frac{a}{1 - x})$

Tìm tất cả các giá trị của a để $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} + 1} + a x)$ là

Tính $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1)$ bằng

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ là

Tính $\lim_{x \to - \infty} x \sqrt{\frac{3 x + 2}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}$

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}$