Tính limx→+∞x+1x+2...x+nn−x bằng A. 0 B. n+12 C. n D. 1

Đặt x=1y khi x→+∞:y→0limx→+∞x+1x+2...x+nn−x=limx→01y+11y+2...1y+nn−1y=limx→0(1+y)(1+2y)...(1+ny)n−1y* (1+y)(1+2y)...(1+ny)n−1=1+yn−1+yn+(1+y)(1+2y)n−(1+y)(1+2y)+...n−(1+y)(1+2y)...(1+(n−1)y)n+(1+y)(1+2y)...(1+ny)n−1=1+yn−1+1+yn1+2yn−1+...+(1+y)(1+2y)...(1+(n−1)y)n1+nyn−1⇒limy→0(1+y)(1+2y)...(1+ny)n−1y=limy→01+yn−1y+limy→01+yn1+2yn−1y+...+limy→0(1+y)(1+2y)...(1+(n−1)y)n.1+nyn−1yTổng quátlimy→0(1+y)(1+2y)...(1+(k−1)yn.1+kyn−1y=limy→0(1+y)(1+2y)...(1+(k−1)yn.1+kyn−11+kynn−1+1+kynn−2+...+1y1+kynn−1+1+kynn−2+...+1=limy→0(1+ky−1).(1+y)(1+2y)...(1+(k−1)y)n1+kynn−1+1+kynn−2+...+1=knKhi đólimy→0(1+y)(1+2y)...(1+ny)n−1y=1n+2n+3n+...+nn=1+2+3+...+nn=n(n+1)2n=n+12Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi:

21/03/2021 510

Tính $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + 1) (x + 2) ... (x + n)} - x)$ bằng

A. 0

B. $\frac{n + 1}{2}$

C. n

D. 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10 câu Trắc nghiệm Giới hạn của hàm số có đáp án (Vận dụng) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $x = \frac{1}{y}$ khi $x \to + \infty : y \to 0$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + 1) (x + 2) ... (x + n)} - x) \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt[n]{(\frac{1}{y} + 1) (\frac{1}{y} + 2) ... (\frac{1}{y} + n)} - \frac{1}{y}) \\ = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1}{y} \end{array}$

$\begin{array}{l} * \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1 \\ = \sqrt[n]{1 + y} - \sqrt[n]{1 + y} + \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y)} - \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) + ...} \\ - \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (n - 1) y)} + \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1 \\ = (\sqrt[n]{1 + y} - 1) + \sqrt[n]{1 + y} (\sqrt[n]{1 + 2 y} - 1) + ... + \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (n - 1) y)} (\sqrt[n]{1 + n y} - 1) \\ \Rightarrow \lim_{y \to 0} \frac{\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1}{y} \\ = \lim_{y \to 0} [\frac{(\sqrt[n]{1 + y} - 1)}{y}] + \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{1 + y} \frac{(\sqrt[n]{1 + 2 y} - 1)}{y}] + ... \\ + \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (n - 1) y)} . \frac{(\sqrt[n]{1 + n y} - 1)}{y}] \end{array}$

Tổng quát

$\begin{array}{l} \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (k - 1) y} . \frac{\sqrt[n]{1 + k y} - 1}{y}] \\ = \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (k - 1) y} . \frac{(\sqrt[n]{1 + k y} - 1) [{(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 1} + {(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 2} + ... + 1]}{y [{(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 1} + {(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 2} + ... + 1]}] \\ = \lim_{y \to 0} \frac{(1 + k y - 1) . \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (k - 1) y)}}{{(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 1} + {(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 2} + ... + 1} = \frac{k}{n} \end{array}$

Khi đó

$\begin{array}{l} \lim_{y \to 0} \frac{\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1}{y} = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + ... + \frac{n}{n} \\ = \frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{n} = \frac{\frac{n (n + 1)}{2}}{n} = \frac{n + 1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Biết rằng $\lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x^{3} + 3 \sqrt{3})}{3 - x^{2}} = a \sqrt{3} + b$ . Tính $a^{2} + b^{2}$

A. 9

B. 25

C. 5

D. 13

Lời giải

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x^{3} + 3 \sqrt{3})}{3 - x^{2}} \\ = \lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x + \sqrt{3}) (x^{2} - \sqrt{3} x + 3)}{(\sqrt{3} - x) (\sqrt{3} + x)} \\ = \lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x^{2} - \sqrt{3} x + 3)}{\sqrt{3} - x} \\ = \frac{2 [{(- \sqrt{3})}^{2} - \sqrt{3} . (- \sqrt{3}) + 3]}{\sqrt{3} - (- \sqrt{3})} = \frac{18}{2 \sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 0 \end{cases} \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 9 \end{array}$