Chứng minh khẳng định sau:

Hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};\,{y_1}} \right),\,\,\overrightarrow v = \left( {{x_2};\,{y_2}} \right)\,\,\left( {\overrightarrow v \ne \overrightarrow 0 } \right)\) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho x₁ = kx₂ và y­₁ = ky₂.

Hướng dẫn giải

 Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4 - \left( { - 2} \right);\,5 - 3} \right) = \left( {6;\,2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {2 - \left( { - 2} \right);\,\left( { - 3} \right) - 3} \right) = \left( {4;\,\, - 6} \right)\).

Vì \(\frac{6}{4} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 6}}\) nên \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} \).

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ điểm D(x; y).

Ta có: \(\overrightarrow {DC} = \left( {6 - x;\left( { - 2} \right) - y} \right)\).

Vì hình thanh ABCD có AB // CD nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và CD = 2AB, do đó \(\overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \).

Ta có: \(2\overrightarrow {AB} = 2\left( {3;\,\,2} \right) = \left( {6;\,4} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {6;4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - x = 6\\\left( { - 2} \right) - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 6\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm D là D(0; – 6).