Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:

AD // BC.

Vì ∆ABC = ∆DCB nên \(\widehat {ACB} = \widehat {DBC}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác OBC có:  

\(\widehat {OCB} + \widehat {CBO} + \widehat {BOC}\) = 180°.

Mà \(\widehat {OCB} = \widehat {CBO}\) do \(\widehat {ACB} = \widehat {DBC}\) nên \(2\widehat {CBO} + \widehat {BOC}\)= 180°

Suy ra \(2\widehat {CBO}\) = 180° – \(\widehat {BOC}\)

Do đó, \(\widehat {CBO} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOC}}}{2}\) (1)

Xét ∆ABD và ∆DCA có:  

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên)

AD chung

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra, \(\widehat {ADB} = \widehat {DAC}\).

Xét tam giác OAD có:

\(\widehat {OAD} + \widehat {ADO} + \widehat {AOD}\) = 180°.

Mà \(\widehat {OAD} = \widehat {ADO}\) do \(\widehat {ADB} = \widehat {DAC}\) nên \(2\widehat {ADO} + \widehat {AOD}\)= 180°

Suy ra \(2\widehat {ADO}\) = 180° – \(\widehat {AOD}\)

Do đó, \(\widehat {ADO} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOD}}}{2}\) (2)

Mà \(\widehat {AOD}\) = \(\widehat {BOC}\) (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra, \(\widehat {CBO} = \)\(\widehat {ADO}\) hay \(\widehat {CBD} = \widehat {ADB}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.