Cho năm điểm A, B, C, D, E như Hình 4.42, trong đó DA = DC, DB = DE.

Cho đường thẳng CE cắt AB tại F. Chứng minh rằng \(\widehat {BFC} = 90^\circ \).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì N là trung điểm của AD nên AN = ND = \(\frac{{AD}}{2}\).

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = \(\frac{{AB}}{2}\).

Mà AB = AD nên AN = BM.

Xét ∆ANB và ∆BMC có:

AN = BM (chứng minh trên)

AB = BC (chứng minh trên)

\(\widehat {NAB}\) = \(\widehat {MBC}\) = 90° (do ABCD là hình vuông)

Do đó, ∆ANB = ∆BMC (hai cạnh góc vuông)

Suy ra, BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Gọi E là giao điểm của BN và CM.

Do ∆ANB = ∆BMC nên \(\widehat {EMB} = \widehat {CMB} = \widehat {BNA}\).

Từ định lí tổng ba góc trong tam giác BME và tam giác ABN, ta suy ra:

\(\widehat {BEM} = 180^\circ - \widehat {EMB} - \widehat {MBE} = 180^\circ - \widehat {BNA} - \widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 90^\circ \).

Vậy BN vuông góc với CM tại E.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC và ∆ABD có:

AB chung

\(\widehat {CAB}\) = \(\widehat {DAB}\) (giả thiết)

\(\widehat {ACB}\) = \(\widehat {ADB}\) = 90° (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ABD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CB = DB.