Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v ,\,\,\overrightarrow u - \overrightarrow v \), \(k\overrightarrow u \) (k ∈ ℝ) theo hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).

Lời giải:

Để biểu diễn vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) theo hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \), ta làm như sau:

Do \(\overrightarrow u = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,\,,\,\,\overrightarrow v = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j \), vậy nên:

\(\overrightarrow u + \overrightarrow v \)\( = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,\,} \right) + \left( {{x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j } \right)\)\[ = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {x_2}\overrightarrow i \,} \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j \, + {y_2}\overrightarrow j } \right)\]\( = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} + {y_2}} \right)\overrightarrow j \).

Tương tự, ta có:

\(\overrightarrow u - \overrightarrow v \)\( = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,\,} \right) - \left( {{x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j } \right)\)\[ = \left( {{x_1}\overrightarrow i - {x_2}\overrightarrow i \,} \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j \, - {y_2}\overrightarrow j } \right)\]\( = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\overrightarrow j \).

\(k\overrightarrow u = k\left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j } \right) = k{x_1}\overrightarrow i + k{y_1}\overrightarrow j = \left( {k{x_1}} \right)\overrightarrow i + \left( {k{y_1}} \right)\overrightarrow j \) (k ∈ ℝ).