Tìm toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NM} \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Tọa độ của vectơ có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ điểm N(a; b).

Ta có: \(\overrightarrow {AN} = \left( {a - 2;b - 3} \right)\), \(\overrightarrow {NC} = \left( {3 - a;\left( { - 1} \right) - b} \right)\).

Vì N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NC} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 3 - a\\b - 3 = \left( { - 1} \right) - b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 5\\2b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{2}\\b = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ của điểm N là \(N\left( {\frac{5}{2};\,\,1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{5}{2} - \left( { - 1} \right);1 - 1} \right) = \left( {\frac{7}{2};\,\,0} \right)\); \(\overrightarrow {NM} = \left( {6 - \frac{5}{2};\,\,1 - 1} \right) = \left( {\frac{7}{2};\,0} \right)\)

Vậy \(\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NM} \).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC. Các điểm M(1; – 2), N(4; – 1) và P(6; 2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C).

Ta có: \(\overrightarrow {AP} = \left( {6 - {x_A};\,2 - {y_A}} \right)\), \(\overrightarrow {PB} = \left( {{x_B} - 6;\,{y_B} - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BM} = \left( {1 - {x_B};\,\left( { - 2} \right) - {y_B}} \right)\), \(\overrightarrow {MC} = \left( {{x_C} - 1;{y_C} - \left( { - 2} \right)} \right)\), \[\overrightarrow {AN} = \left( {4 - {x_A};\,\left( { - 1} \right) - {y_A}} \right)\], \(\overrightarrow {NC} = \left( {{x_C} - 4;\,{y_c} - \left( { - 1} \right)} \right)\).

Vì P là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {PB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - {x_A} = {x_B} - 6\\2 - {y_A} = {y_B} - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 12 - {x_B}\\{y_A} = 4 - {y_B}\end{array} \right.\) (1)

Vì M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_B} = {x_C} - 1\\\left( { - 2} \right) - {y_B} = {y_C} - \left( { - 2} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2 - {x_C}\\{y_B} = - 4 - {y_C}\end{array} \right.\)(2)

Vì N là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - {x_A} = {x_C} - 4\\\left( { - 1} \right) - {y_A} = {y_C} - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - {x_C}\\{y_A} = - 2 - {y_C}\end{array} \right.\)(3)

Từ (1) và (3) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}12 - {x_B} = 8 - {x_C}\\4 - {y_B} = - 2 - {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 + {x_C}\\{y_B} = 6 + {y_C}\end{array} \right.\) (4)

Từ (2) và (4) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_C} = 4 + {x_C}\\ - 4 - {y_C} = 6 + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_C} = - 2\\2{y_C} = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 1\\{y_C} = - 5\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm C là C(– 1; – 5).

Thay tọa độ điểm C vào (3) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - \left( { - 1} \right) = 9\\{y_A} = - 2 - \left( { - 5} \right) = 3\end{array} \right.\).

Thay tọa độ điểm C vào (4) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 + \left( { - 1} \right) = 3\\{y_B} = 6 + \left( { - 5} \right) = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ các điểm A, B, C là A(9; 3), B(3; 1) và C(– 1; – 5).

Câu 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3), B(– 1; 1), C(3; – 1).

Tìm toạ độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} \).

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {3 - \left( { - 1} \right);\,\left( { - 1} \right) - 1} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;\,\, - 2} \right)\).

Gọi tọa độ điểm M(x; y), khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2;y - 3} \right)\).

\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {4; - 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 4\\y - 3 = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M(6; 1).

Câu 3