Đáp án A

Trên đoạn BF lấy điểm G sao cho BG = BC khi đó G nằm giữa D và F

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}BG=BD+DG\\ DF=DG+GF\end{array}\right.$

Mà BG = DF (cùng bằng BC) nên BD = GF

$\Delta BCG$ cân tại B, $\widehat{DBE}=\widehat{EBC}$ nên BE là phân giác đồng thời là đường cao của $\Delta BCG$

Gọi H là giao của BE và GC nên $BH\perp GC$

$\Delta BHG$ vuông tại H nên

$\widehat{HGB}+\widehat{GBH}={90}^0\Rightarrow \widehat{CGB}={90}^0-\frac{1}{3}\widehat{ABC}$

$\Delta ABD$ vuông tại A nên

$\widehat{ABD}+\widehat{ADB}={90}^0\Rightarrow \widehat{ADB}={90}^0-\frac{1}{3}\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{ADB}=\widehat{CDG}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{CDG}={90}^0-\frac{1}{3}\widehat{ABC}$

Do đó: $\widehat{CGB}=\widehat{CDG}={90}^0-\frac{1}{3}\widehat{ABC}$ nên $\Delta CDG$ cân tại C suy ra CD = CG (tính chất tam giác cân)

$\widehat{CDB}$ là góc ngoài tại đỉnh D của $\Delta CDG$ nên

$\widehat{CDB}=\widehat{DCG}+\widehat{CGD}$ (1)

$\widehat{CGF}$ là góc ngoài tại đỉnh D của $\Delta CDG$ nên

$\widehat{CGF}=\widehat{DCG}+\widehat{CGD}$ (2)

Từ (1)(2)(3) suy ra $\widehat{CDB}=\widehat{CGF}$

Xét $\Delta CDB$ và $\Delta CGF$ có:

$\begin{array}{l}\widehat{CDB}=\widehat{CGF}\left(cmt\right)\\ CD=CG\left(cmt\right)\\ BD=FG\left(cmt\right)\\ \Rightarrow \Delta CDB=\Delta CGF(c.g.c)\end{array}$

$\Rightarrow CB=CF$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow CF=DF$ (cùng bằng BC)

Vậy $\Delta CDF$ cân tại F

Đáp án A

+) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{HAC}+\widehat{ACH}={90}^0\\ \widehat{HBA}+\widehat{ACH}={90}^0\end{array}\right.\left(gt\right)\Rightarrow \widehat{HAC}=\widehat{HBA}$ (1)

Mặt khác, BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ và E thuộc BI suy ra

$\widehat{ABE}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$ (2) (tính chất tia phân giác)

+) AJ là tia phân giác của $\widehat{HAC}\left(gt\right)\Rightarrow \widehat{JAC}=\frac{\widehat{HAC}}{2}$ (3) (tính chất tia phân giác)

Từ (1)(2)(3) $\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{JAC}$

Xét $\Delta ABE$ có:

$\widehat{ABE}+\widehat{BAE}=\widehat{JAC}+\widehat{BAE}=\widehat{BAC}={90}^0\Rightarrow \widehat{AEB}={90}^0$

$\Rightarrow \Delta AEB$ vuông tại E

Đáp án C

$\widehat{ABE}$ là góc ngoài tại đỉnh D của $\Delta ABK$ nên:

$\widehat{ABE}=\widehat{BAK}+\widehat{AKB}=\widehat{BAC}+{90}^0$

$\widehat{FCA}$ là góc ngoài tại đỉnh C của $\Delta ACH$ nên

$$\begin{gathered} \widehat{FCA}=\widehat{CAH}+\widehat{AHC}=\widehat{BAC}+{90}^0 \\ \Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{FCA}=\widehat{ABC}+{90}^0 \end{gathered}$$

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta FCA$ có:

$\begin{array}{l}\widehat{ABE}=\widehat{FCA}\left(cmt\right)\\ AB=FC\left(gt\right)\\ EB=AC\left(gt\right)\\ \Rightarrow \Delta ABE=\Delta FCA(c-g-c)\end{array}$

$\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{CFA}$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AE=FA$ (hai cạnh tương ứng)

$\Delta AHF$ vuông tại H nên $\widehat{HAF}+\widehat{HFA}={90}^o$ hay $\widehat{HAF}+\widehat{CFA}={90}^o$

Mà $\widehat{BAE}=\widehat{CFA}$ (cmt) suy ra $\widehat{HAF}+\widehat{BAE}={90}^o$ hay $\widehat{EAF}={90}^o$

$\Delta AEF$ có: $AE=FA\left(cmt\right);\widehat{EAF}={90}^o\left(cmt\right)$ nên $\Delta AEF$ vuông cân tại A

Đáp án B

H là giao của hai đường cao BE;CF nên H là trực tâm của $\Delta ABC$

Gọi D là giao của AH và BC nên $AD\perp BC$

Xét $\Delta AFH$ vuông tại F, đường trung tuyến FI nên $FI=IA=\frac{1}{2}AH$

(trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Do đó $\Delta FAI$ cân tại I suy ra $\widehat{IFA}=\widehat{IAF}$ (1)

Xét $\Delta BFC$ vuông tại F, đường trung tuyến FK nên $FK=BK=\frac{1}{2}BC$

(trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Do đó $\Delta FBK$ cân tại K suy ra $\widehat{KFB}=\widehat{KBF}$ (2)

Xét $\Delta ABD$ vuông tại D nên $\widehat{DAB}+\widehat{DBA}={90}^0$

Từ (1) (2) suy ra:

$\widehat{IFA}+\widehat{KFB}=\widehat{IAF}+\widehat{KBF}=\widehat{DAB}+\widehat{DBA}={90}^0$

Ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{IFA}+\widehat{IFK}+\widehat{KFB}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{IFK}={180}^0-(\widehat{IFA}+\widehat{KFB})={180}^0-{90}^0={90}^0\end{array}$

Đáp án C

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $\widehat{IFK}={90}^0$ hay $\Delta IFK$ vuông tại F và $FI=\frac{1}{2}AH;FK=\frac{1}{2}BC$

Ta có: $FI=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right);FK=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.8=4\left(cm\right)$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông IFK ta có:

$\begin{array}{l}I{K}^2=F{I}^2+F{K}^2=3^2+4^2=25\\ \Rightarrow IK=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\end{array}$