Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu “?” để được các đẳng thức:

BG = ? BN, CG = ? CP;

BG = ? GN, CG = ? GP.

Xét $\Delta ABC$ có $\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Do đó:

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°-\widehat{CAB}$ 

= 180^o - 120^o = 60^o.

Do BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABC}=2\widehat{IBC}$.

Do CI là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACB}=2\widehat{ICB}$.

Do đó $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$.

hay 60^o = 2$\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$.

$\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$ = 60^o : 2 = 30^o.

Xét $\Delta IBC$ có $\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180°$.

Do đó $\widehat{BIC}=180°-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$ = 180^o - 30^o = 150^o.

Vậy $\widehat{BIC}$ = 150^o.

Xét $\Delta GBC$ có $\widehat{GBC}>\widehat{GCB}$ nên GC > GB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn).

Do G là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên CG = $\frac{2}{3}$ CN, BG = $\frac{2}{3}$BM.

Khi đó $\frac{2}{3}$CN > $\frac{2}{3}$BM.

Do đó CN > BM.

Vậy CN > BM.