Tìm m để bất phương trình: $m^{2}x+4x-3<x+m^2$ vô nghiệm.

Viết lại các bất phương trình dưới dạng:

$(m-1)x>m-3$                                                       (1)

$(m+1)x>m-2$                                                       (2).

Ta đi xét các trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu m = 1

$\left(1\right)\iff 0x>-2$, luôn đúng.                   $\left(2\right)\iff x>-\frac{1}{2}$

Vậy, (1) và (2) không tương đương.

Trường hợp 2: Nếu $m=-1$.

$\left(1\right)\iff x<2$                                         $\left(2\right)\iff 0x>-3$, luôn đúng.

Vậy, (1) và (2) không tương đương.

Trường hợp 3: Nếu $m\ne \pm 1$.

Khi đó, (1) và (2) tương đương $\iff \left\{\begin{array}{l}(m-1)(m+1)>0\\ \frac{m-3}{m-1}=\frac{m-2}{m+1}\end{array}\right.\iff m=5$

Vậy, với m = 5, hai bất phương trình tương đương với nhau.

Biến đổi bất phương trình về dạng:

$mx\le -m^2-1$                                                 (1)

Xét ba trường hợp:

Trường hợp 1: Với m = 0, ta được:

$\left(1\right)\iff 0\le -1$, mâu thuẫn.

Trường hợp 2: Với m > 0, ta được:

$\left(1\right)\iff x\le -\frac{m^2+1}{m}$

Trường hợp 3: Với m < 0, ta được:

$\left(1\right)\iff x\ge -\frac{m^2+1}{m}$

Kết luận:

- Với m = 0, bất phương trình vô nghiệm.

- Với m > 0, bất phương trình có nghiệm là $x\le -\frac{m^2+1}{m}$

- Với m < 0, nghiệm của bất phương trình là $x\ge -\frac{m^2+1}{m}$