Cho tam giác ABC có $BC=24cm,AC=3AB$. Tia phân giác của góc ngoài tại A cắt đường thẳng BC ở E. Tính độ dài EB.

Áp dụng tính chất của đường phân giác BD vào tam giác ABC, ta được:

                        $\frac{AB}{BC}=\frac{DA}{DC}=\frac{4}{5}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}AB=4t\\ BC=5t\end{array}\right.$ (với $t>0$).

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông ở A, ta được:

            $B{C}^2=C{A}^2+A{B}^2$ hay ${\left(5t\right)}^2=9^2+{\left(4t\right)}^2$

                                                $\iff {\left(3t\right)}^2=9^2\iff 3t=9\iff t=3$ (vì $t>0$).

Vậy $AB=12\left(cm\right);BC=15\left(cm\right)$.

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC 
và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

                        $\frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CA}=\frac{EB+EC}{BA+CA}=\frac{BC}{BA+CA}$,

Hay $\frac{EB}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{7}{11}\Rightarrow EB=\frac{35}{11}\left(cm\right);EC=\frac{42}{11}\left(cm\right)$.